Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (P2)

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết  = 38^∘ (Hình 6).

Tính số đo các góc  

Đáp án:

 =  =

 =  =  -  =

Bài 2: Cho hai đường thẳng

Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 ( > 0) và Δ2: a₂x + b₂y + c₂ = 0 ( > 0)

có vectơ pháp tuyến lần lượt là  và

Tìm tọa độ của  ,  và tính cos( ,  ).

Đáp án:

 = (; ),  = (; ).

cos(, ) =  = 

Bài 3: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

1. Δ₁: x + 3y - 7 = 0 và Δ₂: x - 2y + 3 = 0
2. Δ₁: 4x - 2y + 5 = 0 và Δ₂:
3. Δ₁:và Δ₂:

Đáp án:

1. a) Ta có: cos(, ) = = 

 (, )  = .

1. b) Đường thẳng nhận = (4; -2) là vectơ pháp tuyến   = (2; 4) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng  nhận vectơ chỉ phương là  = (1; 2).

Ta có:  = 2   //   (, ) =

1. c) Hai đường thẳng , lần lượt có vectơ chỉ phương là = (1; 2) và  = (2; -1).

Ta có: .  = 1. 2 + 2. (-1) = 0    . Do đó, (, ) =

Bài 4: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1.

Đáp án:

Ta có: y = x  x - y  = 0; y = 2x + 1  2x - y + 1 = 0

 Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là : x - y = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là : 2x - y + 1 = 0

cos(, ) =  = 

 (, ) =

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 (a2 + b2) có vectơ pháp tuyến n⃗  và cho điểm M₀(x₀;y₀) có hình chiếu vuông góc H(x_H,y_H) trên Δ (Hình 9).

1. Chứng minh rằng hai vectơ và cùng phương và tìm tọa độ của chúng.
2. Gọi p là tích vô hướng của hai vectơvà . Chứng minh rằng p = ax₀ + by₀ + c.
3. Giải thích công thức ||=

Đáp án:

1. a) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng : ax + by + c = 0 nên    (1)

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống  nên MH       (2)

Từ (1) và (2)   và  cùng phương.

Ta có:  = (a; b),  = ()

1. b) Vì H nên

 c =

Ta có:

p = .  = a() + b()

 =  =  +  + c (đpcm)

1. c) Vì cùng phương với nên  = t

mà H   nên a( - ta) + b( - tb) + c = 0 

 a - t + b - t + c = 0

  t = 

Ta có: || =  

=  

=  

=  

= .  

=  =  (đpcm)

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Đáp án:

Ta có:  = (4; 1),  = (3; 3),  = (-1; 2)

• Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận  = (1; -4) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x - 1) - 4(y - 1) = 0  x - 4y + 3 = 0

• Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận  = (3; -3) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x - 1) - 3(y - 1) = 0  x - y = 0

• Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận  = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x - 4) + (y - 4) = 0  2x + y - 12 = 0

• Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) =  = 
• Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) =  = 
• Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) =  = 

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x - 3y + 2 = 0 và d₂: 4x - 3y + 12 = 0.

Đáp án:

Ta có:  =      // .

Ta có: M(1; 2)  ,

d(, ) = d(M; ) =  = 2

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

1. d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương u⃗= (2; 1)
2. d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là n⃗= (3; -2)
3. d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2
4. d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Đáp án:

1. a) Ta có = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận = (1; -2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận  = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: 

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận  = (1; -2) là vectơ pháp tuyến là:

1. b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; -2) và nhận  = (3; -2) là vectơ pháp tuyến là:

Ta có  = (3; -2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận  = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; -2) và nhận  = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là:

1. c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx +

Vì hệ số góc k = -2 nên ta có: y = -2x +

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = -2. 1 +    = 3 

 Phương trình tổng quát của d là: y = -2x + 3  2x + y - 3 = 0

Ta có: d nhận  = (2; 1) là vectơ pháp tuyến   = (1; -2) là vectơ chỉ phương của d.

 Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận  = (1; -2) làm vectơ chỉ phương là: 

1. d) Ta có: = (-3; 2) là vectơ chỉ phương của d d nhận  = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận  = (-3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận  = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: