Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (P3)

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.
2. Lập phương trình tham số của trung tuyến AM
3. Lập phương trình của đường cao AH.

Đáp án:

1. Ta có = (4; 2) ⇒BC nhận n⃗  = (2; -4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận n⃗  = (2; -4) làm vectơ pháp tuyến là: 

2(x−1)−4(y−2)=0 ⇔ 2x−4y+6=0 ⇔ x−2y+3=0

1. Ta có M là trung điểm của BC ⇒M(; ) ⇒M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận  = (1; -2) làm vectơ chỉ phương là: 

1. Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là:

4(x−2)+2(y−5)=0 ⇔ 4x+2y−18=0 ⇔ 2x+y−9=0

Bài 3: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

1. Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x+y+9=0;
2. Δ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x−y−2=0.

Đáp án:

1. a) Vì song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên nhận  = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và  = (1; -3) làm vectơ chỉ phương.

 Phương trình tổng quát đường thẳng  đi qua A(2; 1) và nhận  = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

Phương trình tham số của  đi qua A(2; 1) và nhận  = (1; -3) làm vectơ chỉ phương là: 

1. b) Vì vuông góc với đường thẳng 2x - y - 2 = 0 nên nhận  = (2; -1) làm vectơ chỉ phương và  = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

 Phương  trình tổng quát đường thẳng  đi qua B(-1; 4) và nhận  = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là:

Phương trình tham số của  đi qua B(-1; 4) và nhận  = (2; -1) làm vectơ chỉ phương là: 

Bài 4: Xét vị trí tương đối của các cặp dường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

1. d₁: x - y + 2 = 0 và d₂: x+y+4=0
2. d₁:  và d₂: 5x−2y+9=0
3. d₁: và d₂: 3x+y−11=0.

Đáp án:

1. a) Ta có và có các vectơ pháp tuyến lần lượt là  = (1; -1) và  = (1; 1).

Ta có: .  = 1. 1 + 1. (-1) = 0   . Do đó,   .

Tọa độ M là giao điểm của  và  là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy  vuông góc với  và cắt nhau tại M(-3; -1).

1. b) Ta có = (2; 5) là vectơ chỉ phương của    = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của .

               = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của .

Ta có:  =  nên  và  là hai vectơ cùng phương. Do đó,  và  song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3)  , thay tọa độ của M vào phương trình , ta được: 5. 1 - 2. 3 + 9  0

 M  . 

Vậy  // .

1. c) = (-1; 3) là vectơ chỉ phương của  = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của .

 Phương trình tổng quát của d đi qua điểm A(2; 5) và nhận  = (3; 1) là vectơ pháp tuyến là:

Ta có:  = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của .

Ta có:  =  nên  và  là hai vectơ cùng phương. Do đó,  và  song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5)  , thay tọa độ của N vào phương trình , ta được:

3. 2 + 5 - 11 = 0

 N  .     

Vậy               

Bài 5: Cho đường thẳng d có phương trình tham số 

Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ

Đáp án:

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình: 

⇒ A = (; 0)

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình: : 

⇒ B = (0; 11)

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm  A(; 0) và  B(0; 11).

Bài 6: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

1. d₁: x - 2y + 3 = 0 và d₂: 3x−y−11=0
2. d₁:  và d₂: x+5y−5=0
3. d₁: và d₁:  

Đáp án:

1. a) Ta có: cos(, ) = =  (, ) =
2. b) Ta có = (5; -1) và = (1; 5) lần lượt là vectơ pháp tuyến của  và

Ta có: .  = 5. 1 + (-1). 5      (, ) = .

1. c) Hai đường thẳng và lần lượt có vectơ chỉ phương là  = (2; 4) và  = (1; 2).

Ta có:  = 2   //   (, ) = .

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

1. M(1; 2) và Δ: 3x−4y+12=0;       
2. M(4; 4) và Δ: 
3. M(0; 5) và Δ:
4. M(0; 0) và Δ: 3x+4y−25=0

Đáp án:

1. a) d(M; ) = = 
2. b) Phương trình tổng quát của đi qua điểm O(0; 0) và nhận = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

d(M; ) =  = 

1. c) Phương trình tổng quát của đi qua điểm A(0; ) và nhận = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 

d(M; ) =  = 

d(M; ) =  = 5

Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 3x+4y−10=0

Δ′: 6x+8y−1=0.

Đáp án:

Ta có:  ⇒ Δ // Δ′

Lấy điểm M(2; 1) ∈ Δ

⇒ d(Δ; Δ′) = d(M; Δ′) = 

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d:

12x−5y+16=0

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Đáp án:

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Ta có: d(M; d) = 

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2.

Bài 10: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.

1. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.
2. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.
3. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Đáp án:

1. a) Ta có: = (10; 5), = (6; -4),  = (-4; -9)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(-1; 1) và nhận  = (5; -10) là vectơ pháp tuyến là:  

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(-1; 1) và nhận  = (4; 6) là vectơ pháp tuyến là: 

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận  = (9; -4) là vectơ pháp tuyến là: 

1. b) cos(AB, AC) = =  (AB, AC)  .
2. c) d(A; BC) = =