Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (P2)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

1. x²+y²−6x−8y+21=0;
2. x²+y² −2x+4y+2=0;
3. x²+y² −3x+2y+7=0;
4. 2x²+2y²+x+y−1=0

Đáp án:

1. a) Phương trình có dạng với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có:  = . Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính R =  = 2.

1. b) Phương trình có dạng với a = 1, b = -2, c = 2

Ta có:  = .

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và có bán kính R = .

1. c) Phương trình có dạng với a = , b = -1, c = 7

Ta có:  =  =  < 0. Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

1. d) Ta có: y² = 0.

Phương trình có dạng  - 2ax - 2by + c = 0 với a = , b =   , c =  

Ta có:  - c =  =  > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I() và bán kính R =

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

1. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;
2. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);
3. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x−12y+11=0;
4. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Đáp án:

1. a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là:
2. b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của MN I = (; ) I = (6; 1)

Ta có: R = MI =  =

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính R =  là:

c)Ta có: R = d(I, d) =  = 

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính R =  là:

1. d) Ta có R = AB = =

Phương trình đường tròn (C) tâm A(1; -2) và bán kính R =  là:

Bài 3: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

1. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);
2. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Đáp án:

1. a) Phương trình đường tròn có dạng .

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là: 

1. b) Phương trình đường tròn có dạng .

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 

Bài 4: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Đáp án:

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: R = d(I; Ox) = d(I; Oy) ⇒ R = a = b ⇒ (C) có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

⇒ Phương trình đường tròn (C) là: (x−a)²+(y−a)²=a²

Ta có A(4; 2) ∈ (C) nên (4−a)²+(2−a)²=a²

⇔ 16 - 8a + a² + 4 - 4a + a² = a²

⇔ a² - 12a + 20 = 0 ⇔ a = 10 hoặc a = 2

Vậy (C): (x−10)²+(y−10)² = 100 hoặc (x−2)²+(y−2)²=4

Bài 5: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²−2x−4y−20=0.

1. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x+3y+2022=0

Đáp án:

1. a) Ta có:

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

1. b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = = 5

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là: 

1. c) Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

:  (c  2022)

Ta có: R = d(I; )   = 5   = 5

 |10 + c| = 25  c = 15 hoặc c = -35

Vậy :  hoặc :

Bài 6: Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

1. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.
2. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Đáp án:

1. a) Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa đô sao cho tâm của hình bán nguyệt có tọa độ 0(0; 0) và đỉnh của cổng có tọa độ A(0; 4,2).

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 4,2 là:

 Phương trình mô phỏng cái cổng là:  (y  0)

1. b) Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được y = 3,58 > 2,6

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.