Giáo án và PPT Toán 11 cánh diều Bài 1: Dãy số

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1: DÃY SỐ

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2,..., vị trí thứ tám viết số 21.

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Khái niệm

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ1.
• Nêu khái niệm dãy số hữu hạn.
• Hoàn thành luyện tập 1.
• Thực hiện HĐ2.
• Nêu khái niệm dãy số vô hạn. Dãy số vô hạn được viết tắt như thế nào?
• Hoàn thành luyện tập 2

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1:

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).

Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.

Khái niệm

+ Mỗi hàm số được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k tương ứng với đúng một số nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: .

+ Số được gọi là số hạng đầu, số được gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Ví dụ 1: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 1

Số hạng đầu của khai triển là:

Số hạng cuối của khai triển là:

.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.

HĐ2

Ta có: 

Khái niệm

+ Mỗi hàm số: được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển:

+ Dãy số đó còn được viết tắt là .

+ Số gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số gọi là số hạng thứ hai,…, số gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số đó.

Chú ý

Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

Ví dụ 2: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của dãy số là:

Số hạng tổng quát của dãy số là với .

b) Dạng khai triển của dãy số:

Hoạt động 2: cách cho một dãy số

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ3.
• Nêu cách cho một dãy số.
• Hoàn thành luyện tập 3.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ3

a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:

- Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.

- Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.

b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.

Cách cho một dãy số:

- Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).

- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Cho bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).

Ví dụ 4: (SGK – tr.46).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).

Luyện tập 3

Ta có: ;

Dãy số dưới dạng khai triển là:

Hoạt động 3: Dãy số tăng, dãy số giảm

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ4.
• Thế nào là dãy số tăng? Thế nào là dãy số giảm?
• Hoàn thành luyện tập 4.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ4

Ta có:

Xét hiệu:

với mọi .

Vậy .

Khái niệm

+ Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi .

+ Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi .

Ví dụ 5: (SGK – tr.46).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).

Luyện tập 4

Ta có:

Xét hiệu:

Suy ra

Vậy dãy số giảm.

Chú ý

Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn, dãy số với có dạng khai triển: Không là dãy số tăng, cũng không là dãy dãy số giảm.

Hoạt động 4: Dãy số bị chặn 

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ5.
• Thế nào là dãy số bị chặn trên? Thế nào là dãy số bị chặn dưới?
• Nêu khái niệm dãy số bị chặn.
• Hoàn thành luyện tập 5

Sản phẩm dự kiến:

HĐ5

Xét hiệu:

Vì nên suy ra  

Do đó:

Vậy hay

Khái niệm

- Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho với mọi .

- Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho với mọi .

- Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho với mọi .

Câu hỏi

Với mọi ta có:

Vì nên

Nên dãy số bị chặn trên.

=> Vậy dãy số bị chặn.

Ví dụ 6: (SGK – tr.46).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).

Luyện tập 5

Ta có: 

Ta lại có:

Do đó

Vậy dãy số bị chặn.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Xét tính tăng giảm của dãy số (un) biết:

A. Dãy số giảm.

B. Dãy số không tăng không giảm

C. Dãy số không đổi.

D. Dãy số tăng

Câu 2: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : ; n thuộc N*

A. Dãy số giảm, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số tăng, bị chặn.

D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

Câu 3: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u₁₀=97

B. u₁₀=71

C. u₁₀=1414

D. u₁₀=971

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: D

Câu 2: C

Câu 3: A

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau (mọi n thuộc N*)

a)

b)

Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau (với mọi n thuộc N*):

a)

b)

c)