Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

- GV đặt câu hỏi:

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

- Nhắc lại Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ.

- Nhắc lại công thức tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

- Nhắc lại Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Trong không gian , cho hai vectơ  và . Ta có:

;

;

với  là một số thực.

Ví dụ: Trong không gian , cho hai vectơ . Tính:

a) ;

b) .

Giải

a) Ta có:  nên .

b) Ta có:  nên .

Nhận xét: Vectơ  cùng phương với vectơ  khi và chỉ khi tồn tại số thực  sao cho

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng  và . Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng  là

- Tọa độ trọng tâm của tam giác  là .

Ví dụ: Trong không gian , cho tam giác  có . Tìm tọa độ trung điểm  của  và trọng tâm  của tam giác .

Giải

Vì  là trung điểm của đoạn thẳng  nên tọa độ của điểm  là suy ra .

Vì  là trọng tâm của tam giác  nên tọa độ của điểm  là , suy ra .

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ  và  được xác định bởi công thức: 

Nhận xét:

- Hai vectơ  và  vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu .

- Nếu  thì

- Nếu  và   là hai vectơ khác  thì

Chú ý: Nếu  và  thì .

Đặc biệt, khi  trùng , ta nhận được công thức .

Ví dụ: Trong không gian , cho tam giác  có ).

a) Tính  .

b) Tính .

c) Tính .

Giải

a) Ta có:  

Khi đó,  .

b) Ta có: 

.

.

c) Ta có:

3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình vẽ) được đẩy bởi một lực  (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời  (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực .

Giải

Ta có:

Vậy công sinh bởi lực  là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ; Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.

Phương pháp giải:

1) Trong không gian , cho hai vectơ  và . Ta có:

;

;

với  là một số thực.

Nhận xét: Vectơ  cùng phương với vectơ  khi và chỉ khi tồn tại số thực  sao cho

2) Trong không gian , cho ba không thẳng hàng  và . Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng  là

- Tọa độ trọng tâm của tam giác  là .

Bài 1. Trong không gian , cho hai vectơ .

a) Tìm tọa độ của vectơ .

b) Tìm tọa độ của vectơ .

b) Tìm tọa độ của vectơ .

Bài 2. Trong không gian , cho ba vectơ .

a) Tìm tọa độ của vectơ .

b) Tìm tọa độ của vectơ .

Bài 3. Biểu diễn vectơ  theo ba vectơ không đồng phẳng 
.

Bài 4. Trong không gian , cho các vectơ 
. Tìm  để vectơ  cùng phương với vectơ .

Bài 5. Trong không gian , cho tam giác  có 
.

a) Tìm tọa độ trung điểm của .

b) Tìm tọa độ trọng tâm  của tam giác .

Bài 6. Trong không gian , cho hình lăng trụ  có  . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và ,  lần lượt là trọng tâm tam giác  và . Tìm tọa độ các điểm .

Bài 7. Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị: m), ra đa phát hiện một chiếc khinh khí cầu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm  đến điểm  trong vòng 30 phút. Nếu khinh khí cầu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của khinh khí cầu sau 10 phút tiếp theo là gì?