Nội dung chính Toán 11 chân trời Chương 4 Bài 2: Hai đường thẳng song song

CHƯƠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

HĐKP 1:

1. a)

- Hình 1a: Hai đường thẳng trùng nhau

- Hình 1b: Hai đường thẳng cắt nhau.

- Hình 1c: Hai đường thẳng song song.

 Khi hai đường thẳng a và b cùng nằm trên một mặt phẳng thì a và b có thể trùng nhau, song song hoặc cắt nhau.

b)

AB và CD không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Kết luận

Cho hai đường thẳng trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa và b. Khi đó a và b đồng phẳng.

+ Nếu  và  có hai điểm chung thì a trùng b, kí hiệu

+ Nếu và b có một điểm chung là M thì a và b cắt nhau tại M, kí hiệu

+ Nếu a và b không có điểm chung thì a và b song song với nhau,

- Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b.

Khi đó, ta cũng nói a chéo với , hoặc  chéo với .

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung

Chú ý:

1. a) Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
2. b) Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu mp(a,b)

Ví dụ 1 (SGK – tr.64)

Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

1. a) MN và BC
2. b) AN và CD
3. c) MN và CD

Giải

1. a) Trong mặt phẳng (ABC), ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // BC
2. b) Trong mặt phẳng (ACD), ta có AN cắt CD tại điểm C.
3. c) Giả sử MN và CD cùng nằm trong một mặt phẳng (P), suy ra đường thẳng NC nằm trong (P), suy ra (P) chứa điểm A. Tương tự, ta cũng có AM nằm trong (P), suy ra (P) chứa điểm B. Suy ra (P) chứa cả bốn đỉnh của tứ diện ABCD. Điều này vô lí.

Vậy hai đường thẳng MN và CD không nằm trong bất kì mặt phẳng nào, suy ra MN chéo với CD.

Thực hành 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

1. a) AB và CD
2. b) SA và SC
3. c) SA và BC

Giải

1. a) Trong mặt phẳng (ABCD) ta có hình bình hành ABCD nên AB // CD
2. b) Trong mặt phẳng (SAC), ta có SA cắt SC tại điểm S.
3. c) Giả sử SA và BC cùng nằm trong một mặt phẳng (P). Suy ra đường thẳng AC nằm trong (P). Suy ra (P) chứa cả 4 điểm S, A, B, C.

Mà theo khái niệm hình chóp thì S không đồng phẳng với A, B, C.

Vậy SA và BC không nằm trong bất kì mặt phẳng nào, suy ra SA chéo với BC.

Vận dụng 1:

Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.

b, c cắt nhau;

b, d song song;

a, b chéo nhau.

2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

HĐKP 2:

1. a) Hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau.
2. b) Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c.

Định lí 1

 Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ 2 (SGK – tr.102)

 Cho tứ diện ABCD. Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình bình hành ACBE. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua A và song song với BC. Chứng minh điểm E thuộc đường thẳng d.

Giải

Ta có ACBE là hình bình hành, suy ra AE // BC. Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua A và song song với BC, suy ra AE phải trùng d, vậ điểm E phải thuộc d.

Thực hành 2:

Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD)

Giải

Ta có hình thang ADMS có đáy là AD và MS nên AD // MS

Trong không gian, chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua S và song song với AD nên d phải trùng SM.

Mà SM  (ADMS) nên d  (ADMS), hay d  (SAD)

Định lí 2

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau the oba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Ví dụ 3 (SGK – tr.103)

Hệ quả

 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ 4 (SGK – tr.104)

HĐKP 3:

Ta có: d là giao tuyến của mp(a,c) và mp(M,b)

Hay d là giao tuyến của mp(a.,c) và mp(a,b)

Mà a cũng nằm trong mp(a, c) và mp(a, b)

Suy ra d trùng a.

Do đó, a//b.

Định lí 3

 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thẳng c thì ta có thể kí hiệu là a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

Ví dụ 5 (SGK – tr.104)

Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD như Hình 14. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.

Giải

Ta có MP là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MP // AC và MP = .

Ta cũng có QN là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra QN // AC và QN =

MP và QN cùng song song với AC suy ra MP // QN. Tứ giác MPNQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành, suy ra MN và QP có cùng trung điểm I. Chứng minh tương tự ta cũng có MN và RS có cùng trung điểm I. Vậy các đoạn thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.

Thực hành 3:

Giải

1. a) Ta có ba mặt phẳng (P), (ACD), (BCD) cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt là IJ, MN và CD.

Mà IJ//CD

Nên (P) giao với (ACD) tại MN // IJ // CD.

Vậy IJMN là hình thang có đáy là MN và IJ

1. b) Để IJMN là hình bình hành thì IJ = MN

Mà IJ =  CD nên MN =  CD 

Vậy M là trung điểm của AC.

Vận dụng 2

Giải

1. a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến song song là: (P), (Q), (R)
2. b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến đồng quy là: (P), (R), (S).