BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN (3 TIẾT)

I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

HĐKP 1:

1. a) Ta có:

 là khoảng cách từ  đến .

1. b) Ta có:

 là khoảng cách từ  đến mặt phẳng .

Định nghĩa

• Nếu là hình chiếu vuông góc của điểm  trên đường thẳng  thì độ dài đoạn thẳng  được gọi là khoảng cách từ  đến đường thẳng , kí hiệu .
• Nếu là hình chiếu vuông góc của điểm  trên mặt phẳng  thì độ dài đoạn  được gọi là khoảng cách từ  đến , kí hiệu .

Chú ý: Ta quy ước:

• khi và chỉ khi  thuộc
• khi và chỉ khi  thuộc .

Nhận xét:

• Lấy điểm tùy ý trên đường thẳng , ta luôn có .
• Lấy điểm tùy ý trên mặt phẳng , ta luôn có

Ví dụ 1 (SGK – Tr.75)

Thực hành 1

1. a) Ta có:

Lại có:

.

.

1. b) Kẻ

.

Xét  vuông tại :

.

Xét  vuông tại:

.

Vậy .

Vận dụng 1

Đổi

Độ dài của cán quạt là:

II. KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐKP 2:

1. a)

Ta có:

.

Mà   là hình bình hành

Có:

 là hình chữ nhật.

.

1. b) Ta có:

Ta có:

.

Mà   là hình bình hành

Có:

 là hình chữ nhật.

.

Định nghĩa

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến , kí hiệu .
• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng  song song với  là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến , kí hiệu
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và  là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến, kí hiệu

Ví dụ 2 (SGK – Tr.76)

Thực hành 2

Ta có:

Gọi  là hình chiếu vuông góc của  trên .

Ta có:

Mà .

.

Mà .

.

Xét  là hình vuông cạnh a

.

Xét  vuông tại  có  là đường cao.

.

1. b) Ta có:

.

Mà .

.

III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

HĐKP 3:

Ta có: .

.

Mà .

Định nghĩa

• Đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau  và  được gọi là đường vuông góc chung của  và .
• Nếu đường vuông góc chung của hai đoạn thẳng chéo nhau và  cắt chúng lần lượt tại và  thì đoạn  gọi là đoạn vuông góc chung của  và .
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu .

Chú ý:

1. a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường còn lại.
2. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

IV. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP, KHỐI LĂNG TRỤ, KHỐI HỘP

Thể tích khối hộp chữ nhật

HĐKP 4:

Số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là:  (hình).

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước.

Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Trong đó, khoảng cách  từ đỉnh đến mặt đáy của một hình chóp gọi là chiều cao của hình chóp đó.

Thể tích khối chóp cụt đều

Với  là chiều cao và ,  là diện tích hai đáy.

Thể tích khôi lăng trụ

HĐKP 5

Ta chia hình lăng trụ thành ba khối chóp sau:

, ; .

Thể tích khối lăng trụ bằng tích diện tích đáy và chiều cao.

Chú ý: Ta gọi khối lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy là khối lăng trụ đứng. Chiều dài cạnh bên  của khối lăng trụ đứng bằng chiều cao  và ta có công thức: 

Ví dụ 4 (SGK – tr.80)

Ví dụ 5 (SGK – tr.80)

Thực hành 4.

Diện tích đáy lớn là:

Diện tích đáy bé là

Thể tích của bồn chứa là:

Vận dụng 3

Diện tích đáy là:

Thể tích của khối nêm là

)

Ví dụ 3 (SGK – Tr.77)

Thực hành 3

1. a) Xét vuông cân tại , gọi là trung điểm .

. (1)

Ta có:

. (2)

Từ (1),(2) suy ra  là đoạn vuông góc chung của  và

.

Xét  vuông cân tại

.

Vậy .

1. b) Xét vuông cân tại , gọi là trung điểm .

.

Ta có:

. (2)

Suy ra  là đoạn vuông góc chung của  và

.

Vận dụng 2

Vì trần nhà và sàn nhà song song với nhau nên đường thẳng  nằm trên trần nhà song song với sàn nhà.

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng  trên trần nhà và đường thẳng  trên sàn nhà bằng khoảng cách giữa trần nhà và sàn nhà. Vậy .