Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 12: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Hoạt động 1:

Từ hình vẽ ta thấy:

- Xà ngang nằm phía trên và không có điểm chung với mặt đất;

- Cột dọc thẳng đứng và có 1 điểm chung với mặt đất;

- Thanh chống nằm xiên và có 1 điểm chung với mặt đất;

- Thanh bên nằm hoàn toàn trên mặt đất, có vô số điểm chung với mặt đất.

Kết luận:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng . Nếu  và  không có điểm chung thì ta nói  song song với  hay  song song với  và kí hiệu là  hay

Ngoài ra:

- Nếu  và  có một điểm chung duy nhất  thì ta nói d và  cắt nhau tại điểm  và kí hiệu  hay

.

- Nếu  và  có nhiều hơn một điểm chung thì ta nói d nằm trong  hay  chứa  và kí hiệu  hay .

Câu hỏi:

Quan sát hình ảnh đã cho ta thấy:

- Đường thẳng được tạo bởi thanh ngang của cây cầu song song với mặt nước lúc tĩnh lặng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.85).

Hướng dẫn giải (SGK – tr. 85).

Luyện tập 1:

- Đường thẳng  cắt các mặt phẳng:  và

- Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng:  và

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 2:

- Vì  thuộc  nên nếu  cắt  tại , thì  thuộc giao tuyến của và

Vậy suy ra  thuộc .

- Kết luận: Nếu  không nằm trong  và song song với  thuộc  thì  song song với  hay  và  không có điểm chung.

Kết luận:

Nếu đường thẳng  không nằm trong mặt phẳng  và song song với một đường thẳng nằm trong  thì  song song với

Câu hỏi:

Phát biểu trên không còn đúng nếu bỏ điều kiện " không nằm trong mặt phẳng ". Vì khi đó, có thể  thuộc mặt phẳng .

Ví dụ 2:

Ba đường thẳng  không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đường thẳng a không nằm trong  Vì đường thẳng  song song với đường thẳng  và đường thẳng  nằm trong  nên đường thẳng  song song với

Luyện tập 2

+) Ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng nên: không thuộc 

Vì  và  => .

+) Ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng nên:  không thuộc

Vì  và  => .

3. ĐIỂU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG ( TIẾP TỤC)

Ví dụ 3: (SKG – tr.86)

Chú ý:

Cho trước hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Luyện tập 3

+) Nếu hai đường thẳng  và  không chéo nhau thì  và  đồng phẳng hay bốn điểm đồng phẳng, trái với giả thiết là hình chóp.

Do đó, hai đường thẳng  và  chéo nhau.

+) Ta có đường thẳng  không nằm trong mặt phẳng và  (giả thiết),

,

Nên   

Mà mặt phẳng chứa đường thẳng. Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với .

Vận dụng

Dây nhợ được căng theo hàng gạch đầu tiên, các hàng gạch được xây thẳng hàng và mỗi viên gạch đều có cách cạnh đối diện song song với nhau, do đó mép trên của hàng gạch đầu là một đường thẳng song song với mặt đất nên dây nhợ khi căng song song với mặt đất. Tác dụng của việc căng dây nhợ để xây tường có độ thẳng, đứng và bằng.

Hoạt động 3:

1. a) Hai đường thẳng và đều nằm trong mặt phẳng nên hai đường thẳng này không thể chéo nhau.
2. b) Giả sử hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm . Khi đó vì và . Mặt khác  nên  cắt tại (vô lý do a song song với ). Vậy  hay hai đường thẳng và  không thể cắt nhau.

Kết luận:

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng Nếu mặt phẳng chứa  và cắt theo giao tuyến  thì  song song với .

Ví dụ 4: (SGK – Tr.86)

Luyện tập 4:

 ;  =>  theo giao tuyến song song với .

Vẽ  () => .

=>  theo giao tuyến song song với

Vẽ  =>

Phần bài tập

Bài tập 4.16

1. a) Mệnh đề a) là mệnh đề đúng vì nếu và có điểm chung thì  cắt  hoặc  nằm trong  nên  không song song với
2. b) Mệnh đề b) là mệnh đề sai vì nếu và có điểm chung thì và cắt nhau hoặc  nằm trong
3. c) Mệnh đề c) là mệnh đề sai vì có thể nằm trong
4. d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì và có thể cắt nhau.

Bài tập 4.20

Bài 4.20.

Cánh cửa có dạng hình chữ nhật nên mép trên cửa song song với mép dưới cửa. Mà mép dưới của cửa luôn tạo với mặt sàn một đường thẳng, do đó mép trên của cửa luôn song song với mặt sàn nhà.