Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 14: Phép chiếu song song

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG

1. PHÉP CHIẾU SONG SONG

Hoạt động 1:

1. a) Các đường thẳng nối mỗi điểm với bóng đôi một song song với nhau.
2. b) Để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ ta sử dụng phép chiếu song song.

Định nghĩa:

- Cho mặt phẳng  và đường thẳng  cắt . Với mỗi điểm  trong không gian ta xác định điểm  như sau:

+ Nếu  thuộc  thì  là giao điểm của  và .

+ Nếu  không thuộc  thì  là giao điểm của  và đường thẳng qua  song song với . Điềm  được gọi là hình chiếu song song của điềm  trên mặt phẳng  theo phương . Phép đặt tương ứng mỗi điểm  với hình chiếu  của nó được gọi là phép chiếu song song lên  theo phương .

- Mặt phẳng  được gọi là mặt phẳng chiếu, phương  được gọi là phương chiếu.

Câu hỏi

Để xác định được bóng của toàn bộ song cửa , ta xác định bóng của từng điểm  và  trên sàn nhà là  và . Khi đó  chính là bóng của song cửa

Khái niệm

Cho hình . Tập hợp  các hình chiếu  của các điểm  thuộc  qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của  qua phép chiếu song song đó.

Chú ý

Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm.

Ví dụ 1: (SGK – tr.96).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.96).

Luyện tập 1

+) là hình hộp =>

 =>  là hình chiếu của  trên  theo phương .

+) là hình hộp =>  là hình bình hành

=> và , suy ra ABGH là hình bình hành nên

Có:  =>  là hình chiếu của điểm  trên  theo phương

Vận dụng 1

Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong vạch vôi về phía bên trong khung thành.

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG

Hoạt động 2:

Quan sát Hình 4.56a ta thấy:

1. a) Hình chiếu của điểm nằm trên đoạn
2. b) Hình chiếu của hai song cửa và lần lượt là  và , chúng song song với nhau.
3. c) Hình chiếu của điểm là trung điểm của đoạn

Tính chất

- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

- Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Câu hỏi

Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

3. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG (TIẾP)

Ví dụ 2: (SGK – tr.97).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.97).

Luyện tập 2

Hình thang  có ,là hình chiếu song song của  trên mặt phẳng theo phương  (Hình 4.61).

Vì là hình thang có , do đó hình chiếu của  là  song song với hình chiếu của  là .

Tứ giác  có  nên nó là hình thang.

Ví dụ 3: (SGK – tr.98).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.98).

Luyện tập 3

 là hình chiếu của  trên  theo phương .

Gọi  lần lượt là trung điểm của . Khi đó  là các đường trung bình của .

Gọi  lần lượt là hình chiếu của  trên mặt phẳng  theo phương .

Vì  là trung điểm của  nên  thẳng hàng theo thứ tự đó và . Do vậy  thẳng hàng theo thứ tự đó và , tức là là trung điểm của .

Chứng minh tương tự ta có là trung điểm của và là trung điểm của . Vậy  là các đường trung bình của 

4. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG (TIẾP)

Hoạt động 3:

Trong ba hình đã cho, Hình 4.63a thể hiện hình lập phương chính xác nhất.

Khái niệm

Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Câu hỏi

Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a, ta thấy:

- Hình biểu diễn của hình tam giác là hình tam giác;

- Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành;

- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

- Hình biểu diễn của một số hình phẳng (nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu)

+ Hình biểu diễn của Tam giác (tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,…) là một tam giác.

+Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là một hình bình hành.

+ Hình biểu diễn của hình thang  với  là một hình thang  với  thỏa mãn

+ Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Ví dụ 4: (SGK – tr.99).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.99).

Luyện tập 4

Hình chóp  có các mặt bên là các hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy  là hình bình hành nên hình biểu diễn của đáy  cũng là một hình bình hành. Từ đó ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp  như sau:

Vận dụng 2

Đáp án:

Bài tập 4.30

Giả sử   là hình chiếu của  trên mặt phẳng theo phương chiếu .

=> .

Do vậy,  là hình chiếu của  trên  theo phương .

Bài tập 4.31

Bài 4.31.

Gọi  là trọng tâm của  và  là hình chiếu song song của nó. Gọi  là trung điểm của  thì  thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi  là hình chiếu của  Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

 thẳng hàng theo thứ tự đó và  (1)

 thẳng hàng theo thứ tự đó và  (2)

Từ (1)(2) suy ra  là trọng tâm của .