Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

CHƯƠNG III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

BÀI 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM 

a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:

Thời gian (giờ)Dưới 1,5 giờ[1,5; 3)[3; 4,5)Từ 4,5 giờ trở lên

Số học sinh51582

b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

- Thời gian tự học dưới 1,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là 0,75 giờ, tần số tương ứng là 5.

- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là (1,5+3)/2=2,25a, tần số tương ứng là 15.

- Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là (3+4,5)/2=3,75 tần số tương ứng là 8.

- Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2.

=> Số trung bình là:

(5.0,75+15.2,25+8.3,75+2.5,25)/30=2,6

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Công thức

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là x ̅.

x ̅=(m_1 x_1+⋯+m_k x_k)/n

Trong đó n=m_1+⋯+m_k là cỡ mẫu và 

x_i=(a_i+a_(i+1))/2 (với i = 1,…,k) là giá trị đại diện của nhóm [a_i;a_(i+1) ). 

Chú ý:

Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng k_1-k_2, trong đó k_1,k_2∈N. Nhóm k_1-k_2 được hiểu là nhóm gồm các giá trị k_1;k_1+1;…,k_2. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng hiệu chỉnh nhóm k_1-k_2 với k_1,k_2∈N thành nhóm [k_1-0,5;k_2+0,5). Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được bảng 3.4.

Ví dụ 1: (SGK – tr.63).

Hướng dẫn giải – (SGK – tr.63).

Luyện tập 1

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian (giờ)2,57,512,517,522,5

Số học sinh816422

Tổng số học sinh là n=8+16+4+2+2=32. Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là

x ̅=(8.2,5+16.7,5+4.12,5+2.17,5+2.22,5)/32=8,4375 (giờ).

Ý nghĩa

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Hoạt động 2:

Ta có: cỡ mẫu n = 21, là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu. Mà x_11 thuộc [5; 10) nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [5; 10).

Các bước tìm số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p;a_(p+1)).

Bước 2: Trung vị là: 

M_e=a_p+(n/2-(m_1+⋯+m_(p-1) ))/m_p .(a_(p+1)-a_p) 

Trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p=1, ta quy ước m_1+⋯+m_(p-1)=0.

Ví dụ 2: (SGK – tr.64).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.64).

Luyện tập 2

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi x1, x2, ..., x200 là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là: (x_100+x_101)/2. Do 2 giá trị x_100,x_101 thuộc nhóm [165; 170) (Vì 18 + 28 + 35 + 43 = 124) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó:

p=4;a_4=165; m_4=43; 

m_1+m_2+m_3=18+28+35=81; 

a_5-a_4=170-165=5 

Ta có: M_e=165+(200/2-81)/43.5≈167,21

Ý nghĩa

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

2. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Hoạt động 3

Vì n = 21 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó:

Q_1=(x_5+x_6)/2, mà x_5,x_6 thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất Q_1 thuộc nhóm [5; 10).

 Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy x_12,x_13,…,x_21 nên Q_3=(x_16+x_17)/2. Ta có: 3+8+7=18, do đó x_16,x_17 thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba Q_3 thuộc nhóm [10; 15).

Kết luận

- Để tính tứ phân vị thứ nhất Q_1 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q_1, giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p;a_(p+1)). Khi đó:

Q_1=a_p+(n/4-(m_1+⋯+m_(p-1) ))/m_p .(a_(p+1)-a_p) 

Trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước m_1+⋯+m_(p-1)=0.

Để tính tứ phân vị thứ ba Q_3 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q_3. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p;a_(p+1)). Khi đó:

Q_3=a_p+(3n/4-(m_1+⋯+m_(p-1) ))/m_p .(a_(p+1)-a_p) 

Trong đó n là cơ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m_1+..+m_(p-1)=0.

Tứ phân vị thứ hai Q_2 chính là trung vị M_e.

Ví dụ 3: (SGK – tr.65).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.65).

Nhận xét

Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng ((r.n)/4) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Luyện tập 3

Cỡ mẫu là n = 200.

Tứ phân vị thứ nhất Q_1 là (x_50+x_51)/2. Do x_50,x_51 đều thuộc nhóm [160;165) nên nhóm này chứa Q_1. Do đó, p=3,a_3=160,m_3=35;m_1+m_2=18+28=46,a_4-a_3=165-160=5. Ta có:

Q_1=160+(200/4-46)/35.5≈160,57 

Tứ phân vị thứ ba Q_3 là (x_150+x_151)/2. Do x_150,x_151 đều thuộc nhóm [170;175) nên nhóm này chứa Q_3. Do đó, p=5;a_5=170;m_5=41;m_1+m_2+m_3+m_4=18+28+35+43=124;a_6-a_5=175-170=5. Ta có:

Q_3=170+(3.200/4-124)/41.5≈173,17 

Ý nghĩa

Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

2. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Hoạt động 4

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm [5; 10) là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là j=2;a_j=a_2=5;m_2=16;m_1=8;m_3=4; độ dài của nhóm h=5.

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: 

5+(16-8)/((16-8)+(16-4) ).5=7

Các bước thực hiện tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

- Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [a_j;a_(j+1) ).

- Bước 2. Mốt được xác định là: 

M_o=a_j+(m_j-m_(j-1))/((m_j-m_(j-1) )+(m_j-m_(j+1) ) ).h

Trong đó m_j là tần số của nhóm j (quy ước m_o=m_((k+1) )=0) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý

Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

- Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghé nhóm không có mốt.

Ví dụ 4: (SGK – tr.66)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.66)

Luyện tập 4

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm [10,5; 20,5).

Ta có, j=2;a_2=10,5;m_2=10;m_1=2;m_3=6;h=20,5-10,5=10. Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

M_o=10,5+(10-2)/((10-2)+(10-6) ).10 

      =103/6≈17,17 

Ý nghĩa

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Vận dụng

Ta có:

Số tiền (nghìn đồng)[0;30)[30;60)[60;90)[90;120)

Số khách hàng315107

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

+) Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)154575105

Số khách hàng315107

Tổng số khách hàng là n = 35. Số trung bình là:

x ̅=(3.15+15.45+10.75+7.105)/35=63

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

- Gọi x_1,x_2,x_3,….,x_35 là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là x_18. Do x_18 thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p=2; a_2=30; m_2=15; m_1=3; a_3–a_2=60 –30=30 và ta có:

M_e=30+(35/2-3)/15.30=59

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu gốc thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị. Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất Q_1 là x_9. Do x_9 thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa Q_1. Do đó, p=2; a_2=30; m_2=15; m_1=3; 

a_3–a_2=60 –30=30 và ta có:

Q_1=30+(35/4-3)/15.30=41,5

- Tứ phân vị thứ ba Q_3 là x_27. Do x_27 thuộc nhóm [60; 90) nên nhóm này chứa Q_3. Do đó, p=3; a_3=60; m_3=10; m_1+m_2=3+15=18; a_4–a_3=90 –60=30 và ta có:

Q_3=60+(3.35/4-18)/10.30=84,75

- Tứ phân vị thứ hai Q_2=M_e=59

Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60). Ta có j=2,a_2=30,m_2=15,m_1=3,m_3=10,h=30. Do đó

M_o=30+(15-3)/((15-3)+(15-10) ).30≈51,18 

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.