Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 13: Hai mặt phẳng song song

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 1:

- Các mặt của từng tầng trong giá để dép gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Mặt sàn và mặt trần nhà bằng gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Hai mặt đối diện của hộp diêm gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

Khái niệm

Hai mặt phẳng  và  được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu  //  hay  // .

Nhận xét

Nhận xét. Nếu hai mặt phẳng  và  song song với nhau và đường thẳng d nằm trong () thì d và  không có điểm chung, tức là  song song với . Như vậy, nếu một đường

thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.

Câu hỏi

Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 2:

Do  song song với mặt phẳng và  nằm trong mặt phẳng nên và cắt nhau theo giao tuyến  song song với . Lí luận tương tự, ta thấy  song song với . Từ đó suy ra a song song với  hoặc  trùng với  (mâu thuẫn giả thiết).

Kết luận

Nếu mặt phẳng  chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng  thì  và  song song với nhau.

Câu hỏi

Giả sử hai đường thẳng  và  trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng  và  cắt nhau theo giao tuyến  song song với hai đường thẳng trùng nhau trên, do đó  và  không song song với nhau. Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.89).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.89).

Luyện tập 1

Vì  nên

Vì  nên

; ;

=>

Vận dụng 1

Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau, do đó  và

Vì  và  là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên  thì đường thẳng  song song với mặt đất và thì đường thẳng  song song với mặt đất.

Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau  và  cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

3. ĐIỂU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ( TIẾP TỤC)

Hoạt động 3

Mặt bàn nằm ngang thì song song với mặt đất. Khi tấm bìa cứng được đặt lên một góc của mặt bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với mặt bàn thì mặt bìa trùng với mặt bàn.

Tính chất:

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng sóng song với mặt phẳng đã cho.

Câu hỏi

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Chứng minh: Cho ba mặt phẳng  phân biệt có  Theo tính chất bắc cầu ta có

Ví dụ 2: (SGK – tr.90).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.90).

Luyện tập 2

Xét  có  hay

Suy ra  (theo định lí Thalès).

Do đó  Tương tự,  nên  

Vậy  chứa hai đường thẳng cắt nhau  và cùng song song với  

=> Nên  

Lập lập tương tự ta có

 và  cùng đi qua điểm   và   nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm  đồng phẳng.

Hoạt động 4

(hình 4.46)

1. a) Giả sử:

 không cắt  => . Mà

=> . Điều này mâu thuẫn với gải thiết

1. b) Vì => không thể chéo nhau.

=>  không có điểm chung.

Giả sử:  có điểm chung là  =>  cũng có điểm chung là . Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Tính chất

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Ví dụ 3: (SGK – tr.90).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.90).

Luyện tập 3

Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được  // .

Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng  với hai mặt phẳng  và  song song với nhau. Ta có  

Trong mặt phẳng qua  vẽ đường thẳng song song với  cắt tại () thì đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng  và mặt phẳng

4. ĐỊNH LÍ THALES TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 5

1. a) Mặt phẳng và theo hai giao tuyến và Do đó, .

Mặt phẳng  và theo hai giao tuyến  và . Do đó, .

1. b) Xét có , theo định lí Thalès trong tam giác ta suy ra

Tương tự, xét  có , ta suy ra .

Vậy .

Định lí

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Trong hình 4.48 ta có: .

Ví dụ 4: (SGK – tr.91).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.91).

Luyện tập 4.

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có: .

Suy ra  (cm).

4. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Hoạt động 6:

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song với nhau.

Định nghĩa

- Cho hai mặt phẳng song song  và . Trên  cho đa giác lồi . Qua các đình  vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng  tại . Hình gồm hai đa giác  và các tứ giác  được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là  

+ Các điểm  và  được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng  được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng ,  và  được gọi là các cạnh đáy của hình lăng trụ.

+ Hai đa giác  và  được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

+ Các tứ giác  được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

Câu hỏi

Xét mặt bên , theo lí thuyết, ta có //, lại có mặt phẳng () lần lượt cắt hai mặt phẳng song song  và  theo hai giao tuyến  và  nên  // . Do vậy, tứ giác  là hình bình hành (các cặp cạnh đối diện song song).

Từ đó suy ra //  và  = .

Chứng minh tương tự, ta có các mặt bên khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Chú ý:

Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy.

Ví dụ 5: (SGK – tr.92).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.92)

Luyện tập 5

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ  đôi một song song nên  đôi một song song (1).

Ta có  nên  là hình thang.

Vì  và ần lượt là trung điểm của cạnh  và  nên  là đường trung bình của hình thang , suy ra  đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra  

=>

Do vậy  là hình lăng trụ.

Hoạt động 7.

Hình ảnh thứ hai từ trái sang phải trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

- Hình lăng trụ tứ giác  có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

+ Các cặp điểm  và  và  và  và  được gọi là các đỉnh đối diện của hình hộp.

+ Các đoạn thẳng  và  được gọi là các đường chéo của hình hộp.

+ Các cặp tứ giác  và  và ,  và  được gọi là hai mặt đối diện của hình hộp.

Ví dụ 6: (SGK – tr. 93).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.93).

Luyện tập 6

Hình hộp có hai đáy  và  là các hình bình hành.

Ta có:  (do  là hình bình hành), do đó

Lại có:  (các cạnh bên của hình hộp), do đó .

Trong  có:

 và

Vậy

Vận dụng 2

Vì bể nước có dạng hình hộp nên nắp bể và đáy bể nằm trong hai mặt phẳng song song. Khi mặt nước yên lặng thì mặt nước, nắp bể và đáy bể nằm trong ba mặt phẳng đôi một song song. Khi đó, thanh gỗ và chiều cao của bể đóng vai trò như hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng đôi một song song trên. Vậy áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta khẳng định được tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể chính là tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ.