Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 5: Dãy số

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 5. DÃY SỐ

1. DÃY SỐ VÔ HẠN
Hoạt động 1:
Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.
Số chính phương thứ nhất là u_1=0^2=0
Số chính phương thứ hai là u_2=1^2=1
Số chính phương thứ ba là u_3=2^2=4
Số chính phương thứ tư là u_4=3^2=9
Số chính phương thứ năm là u_5=4^2=16
Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u_n=(n –1)^2 với n ∈ N*.
Kết luận:
+ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u=u(n).
+ Ta thường viết u_n thay cho u(n) và ký hiệu dãy số u=u(n) bởi (u_n), do đó dãy số (u_n) được viết dưới dạng khai triển u_1,u_2,u_3,…,u_n,... Số u_1 gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
Chú ý
Nếu ∀n∈N^*,u_n=c thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.
Ví dụ 1: (SGK – tr.43).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

2. Dãy số hữu hạn
Hoạt động 2.
a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là
0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.
b) Ta có: u_n=(n –1)^2 với n∈N^* và n ≤ 8.
Kết luận:
+ Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;...; m} với m∈N^* được gọi là một dãy số hữu hạn.
+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u_1,u_2,…,u_m. Số u_1 gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối.
Ví dụ 2: (SGK – tr.43).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).
Luyện tập 1.
a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q+1.
Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u_n=5n+1 (n∈N^*).
b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.
Số hạng đầu của dãy là u_1=6, số hạng cuối của dãy là u_5=26.
2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
Hoạt động 3:
a) Số hạng tổng quát của dãy số là u_n=5n (n∈N^*).
b) Số hạng đầu của dãy số là u_1=5.
Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là u_n=u_n–1+5 (n∈N^*,n>1).
Kết luận:
Một dãy số có thể cho bằng:
+ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
+ Công thức của số hạng tổng quát.
+ Phương pháp mô tả.
+ Phương pháp truy hồi.
Ví dụ 3: (SGK – tr.44)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).
Ví dụ 4: (SGK – tr.44).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
Chú ý:
Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo vào số nguyên tố đứng trước nó.
- Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Ví dụ 5: (SGK – tr.44).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).
Ví dụ 6: (SGK – tr.44).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).
Luyện tập 2
a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n=n! là
u_1=1!=1
u_2=2!=2
u_2=3!=6
u_4=4!=24
u_5=5!=120
b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) là
F_1=1
F_2=1
F_3=F_2+F_1=1+1=2;
F_4=F_3+F_2=2+1=3;
F_5=F_4+F_3=3+2=5.
Chú ý

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số (u_n) với u_n=(-1)^n/2^n . Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là:
u_1=-1/2,u_2=1/4,u_3=-1/8,u_4=1/16,u_5=-1/32 và được biểu diễn trên trục số như trên.
3. NHẬN BIẾT DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Hoạt động 4.
a) Ta có:
u_(n+1)=3(n+1)-1=3n+3-1=3n+2
Xét hiệu u_(n+1)-u_n ta có: u_(n+1)-u_n=(3n+2)-(3n-1)=3>0, tức là u_(n+1)>u_n,∀n∈N^*.
Vậy u_(n + 1)>u_n ∀ n∈N^*.
b) Ta có: v_(n+1)=1/(n+1)^2 .
Xét hiệu v_(n+1)-v_n ta có:
v_(n+1)-v_n=1/(n+1)^2 -1/n^2
=(n^2-(n+1)^2)/(n^2 (n+1)^2 )=(n^2-(n^2+2n+1))/(n^2 (n+1)^2 )
=-(2n+1)/(n^2 (n+1)^2 )<0,∀n∈ ℕ*
Tức là v_(n+1)<v_n,∀n∈N^*
Vậy v_(n+1)<v_n,∀n∈N^*.
Kết luận:
+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có: u_(n+1)>u_n với mọi n∈ ℕ*.
+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_(n+1) với mọi n∈ ℕ*.
Ví dụ 7: (SGK – tr.45).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).
Luyện tập 3
Ta có: u_n=1/(n+1),u_(n+1)=1/((n+1)+1)=1/(n+2)
u_(n+1)-u_n=1/(n+2)-1/(n+1)=((n+1)-(n+2))/(n+1)(n+2)
=-1/(n+1)(n+2) <0,∀n∈N^*
Tức là u_(n+1)<u_n,∀n∈N^*
Vậy (u_n) là dãy số giảm.
2. Nhận biết dãy số bị chặn
Hoạt động 5.
a) Ta có: u_n=(n+1)/n=1+1/n>1,∀n∈N^*
b) Ta có: 1/n≤1,∀n∈N^*
suy ra 1+1/n≤1+1=2,∀n∈N^*
Do đó, u_n=1+1/n≤2,∀n∈N^*.
Kết luận
+ Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n≤M với ∀n∈N^*.
+ Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n≥m,∀n∈N^*.
+ Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho m≤u_n≤M, ∀n∈N^*.
Ví dụ 8: (SGK – tr45).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).
Câu hỏi phụ
Ta có: u_n=(4n+5)/(n+1)>0,∀n∈N^*
u_n=(4n+5)/(n+1)=(4(n+1)+1)/(n+1)=4+1/(n+1)≤4+1/2=9/2,∀n∈N^*
Suy ra 0<u_n<9/2,∀n∈N^*
Vậy dãy số (u_n) bị chặn.
Luyện tập 4
Ta có: un = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới.
Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
u_n = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ N*.
Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
Vận dụng
a) Ta có:
s_2=s_1+25=200+25=225
s_3=s_2+25=225+25=250
s_4=s_3+25=250+25=275
s_5=s_4+25=275+25=300
Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.
b) Ta có:
s_n=s_(n-1)+25⟺s_n-s_(n-1)=25>0 với mọi n≥2,n∈N^*
Tức là s_n>s_(n-1)với mọi n ≥ 2,n ∈ N^*.
Vậy (s_n) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc