Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Chú ý
- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.

- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ). Trong hình 4.1 ta có mặt phẳng (P) và mặt phẳng (α).
Câu hỏi
Một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế: mặt bàn, mặt gương phẳng, mặt sàn phẳng, trần nhà phẳng,...
Hoạt động 1

- Ví dụ thêm: Một chấm mực trên tờ giấy trắng.
Kết luận
+ Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu A∈(P).
+ Điểm B không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu A∉(P).
Nếu A∈(P) ta còn nối A nằm trên (P), hoặc (P) chứa A, hoặc (P) đi qua A.
Chú ý:
- Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.

Hình 4.3. Hình biểu diễn của hình chóp tam giác đều và hình lập phương.
2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Hoạt động 2

Không thể tìm được đường thẳng nào khác đi qua hai điểm A,B đã cho ngoài đường thẳng tạo bởi xà ngang.
Kết luận
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Câu hỏi
Cho 3 điểm không thẳng hàng, để tạo được 1 đường thẳng từ 2 trong 3 điểm đó, ta lấy 2 điểm bất kì và xác định đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Khi đó số đường thẳng tạo thành 3 đường thẳng.

Hoạt động 3

a) Khi đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn, mặt màu đỏ của khối rubik nằm trên mặt bàn.
b) Không thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn.
Kết luận
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nhận xét
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A,B,C là (ABC). Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.
Câu hỏi
Qua ba điểm thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường thẳng. Có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này nên có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 1: (SGK – tr.72).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.72).
Luyện tập 1
Vì 4 điểm A,B,C,D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A,B,C,D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng (ABCD).
Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vận dụng 1


Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Do đó, khi thiết kế các đồ vật gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,... ta thấy các đồ vật này có thể đứng thẳng mà không bị đổ trên các bề mặt bởi vì các ba chân của các đồ vật này giống như 3 điểm không thẳng hàng.
Hoạt động 4

Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây nằm trên mặt bàn.
Kết luận
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Chú ý
Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Khi đó ta kí hiệu là d⊂(P) hoặc (P)⊃d.
Ví dụ 2: (SGK – tr73).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.73).
Luyện tập 2

Đường thẳng AB có hai điểm phân biệt A,B∈mp(ABC) => AB⊂mp(ABC).
Vì N∈AB => N∈mp(ABC).
Ta có điểm M∈mp(ABC). Khi đó đường thẳng MN có hai điểm phân biệt M,N∈mp(ABC) => MN⊂mp(ABC).
Hoạt động 5

Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể giao nhau theo đường thẳng.
Kết luận
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Chú ý
Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là:
d=(P)∩(Q).
Ví dụ 3: (SGK – tr.74).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.74).
- Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta cần xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Nhận xét
Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
Luyện tập 3

Ta có hai đường thẳng BM và CN cắt nhau tại điểm A.
Do đó, điểm A∈BM => A∈mp(SBM), điểm A∈CN => A∈(SCN). Vậy A là một điểm chung của mp(SBM) và mp(SCN).
Vì S và A là hai điểm chung của mp(SBM) và mp(SCN) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA. Ta viết SA = (SBM) ∩ (SCN).
3. CÁC XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG
Kết quả
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Hoạt động 6

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt B,C∈mp(ABC) => đường thẳng d⊂mp(ABC) hay mp(ABC) chứa đường thẳng d.
A∈mp(ABC) hay mp(ABC) chứa điểm A.
mp(ABC) chứa các điểm A,B,C nên mp(ABC) chứa hai đường thẳng AB và BC.
Kết luận
+ Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
+ Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Chú ý
Mặt phẳng được xác định bởi điểm A và đường thẳng d không chứa A được kí hiệu là mp(A,d). Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là mp(a,b).
Ví dụ 4: (SGK – tr.75).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.75).
Luyện tập 4.

Gọi a∩c=L;b∩c=K
L∈a => L∈mp(S,a)
L∈c => L∈mp(S,c)
Mà L,S∈mp(S,a) và mp(S,c) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SL.
Vì K∈b nên K∈mp(S,b).
Vì K∈c nên K∈mp(S,c). Hai điểm S và K cùng thuộc mp(S,b) và mp(S,c) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SK.
Vận dụng 2

Phụ kiện hít cửa nam châm đại diện cho 1 điểm cố định, một cạnh của cánh cửa đại diện cho một đường thẳng không chứa điểm phụ kiện hít cửa nam châm. Chính vì vậy có một mặt phẳng được xác định khi phụ kiện hít cửa và một cạnh của cánh cửa, khi đó cánh cửa luôn được giữa cố định.
4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN
Hoạt động 7



Các hình ảnh đã cho đều có các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
Kết luận
- Cho đa giác lồi A_1 A_2…A_n và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A_1,A_2,…,A_n để được n tam giác SA_1 A_2,SA_2 A_3,…,SA_n A_1. Hình gồm n tam giác SA_1 A_2,SA_2 A_3,…,SA_n A_1 và đa giác A_1 A_2…A_n được gọi là hình chóp và kí hiệu là S.A_1 A_2…A_n.
- Trong hình chóp S.A_1 A_2…A_n, điểm S được gọi là đỉnh và đa giác A_1 A_2…A_n được gọi là mặt đáy, các tam giác SA_1 A_2,SA_2 A_3,…,
SA_n A_1 được gọi là các mặt bên; các cạnh SA_1,SA_2,…,SA_n được gọi là các cạnh bên; các cạnh A_1 A_2,A_2 A_3,…,A_n A_1 được gọi là các cạnh đáy.
Chú ý
Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.
Ví dụ 5: (SGK – tr.76).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.76).
Luyện tập 5.

Hình chóp S.ABCD có
+ Bốn mặt bên là các tam giác SAB,SBC,SCD,SDA.
+ Một mặt đáy là tứ giác ABCD.
Hoạt động 8
Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp thứ ba tính từ trái sang (hình khối rubik) có ít mặt nhất.

Hình chóp này có 6 cạnh và 4 mặt.
Kết luận
- Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.
- Trong hình tứ diện ABCD:
+ Các điểm A,B,C,D : các đỉnh của tứ diện,
+ Các đoạn thẳng AB,BC, CD,DA,AC,BD : các cạnh của tứ diện,
+ Các tam giác ABC,ACD,ABD,BCD : các mặt của tứ diện.
- Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Nhận xét
Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của hình tứ diện cũng có thể được coi là mặt đáy.
Ví dụ 6: (SGK – tr.76).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.76).
Luyện tập 6

E∈∆BCD => DE∩BC=K.
A, E ∈mp(ADK) => AE⊂mp(ADK)
=> F∈mp(ADK)
=> A,D,E,F,K∈mp(ADK).
Trong ∆ADK: DF∩AK=G
Mà G∈AK; A,K∈mp(ABC)
=> G∈mp(ABC).
Vậy DF∩mp(ABC)=G
Bài tập
Bài tập 4.1
a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì đường thẳng a có thể cắt mp(P).

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng (theo tính chất thừa nhận).
c) Mệnh đề c) là mệnh đề đúng.
Giả sử giao điểm của a và b là H, vì H thuộc a và a nằm trong (P) nên H thuộc (P).
d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai.
Chẳng hạn trường hợp như trong hình dưới đây có thể xảy ra: đường thẳng b cắt đường thẳng a tại giao điểm A nhưng đường thẳng b không nằm trong mặt phẳng (P).

Bài tập 4.3.

Giả sử c∩a=A;c∩b=B
Vì A∈a;a∈(P) => A∈(P)
Vì B∈b;b∈(P) => B∈(P)
Đường thẳng c có hai điểm phân biệt A và B cùng thuộc mặt phẳng (P) nên tất cả các điểm của đường thẳng c đều thuộc (P) hay đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).
Bài tập 4.5.

a)
+) Vì E∈SA => E∈mp(SAB). P∈AB => P∈mp(SAB)
=> S,A,B,E,P∈mp(SAB).
Trong ∆SAB: EP∩SB=H. Do P∈d
=> EP⊂mp(E,d) và H∈EP
=> H∈mp(E,d).
Vậy SB∩mp(E,d)=H.
+) Vì E∈SA => E∈mp(SAD). Q∈AD
=> Q∈mp(SAD)
=> S,A,D,E,Q∈mp(SAD)
Trong ∆SAD: EQ∩SD=I. Do Q∈d
=> EQ⊂mp(E,d).
Vậy SD∩mp(E,d)=I.
b)
+) d∩CB=M;d∩CD=N => M,N∈d mà d∈mp(E,d) => MN⊂mp(E,d)
Lại có: M∈CB,CB⊂mp(ABCD)
=> M∈mp(ABCD)
N∈CD,CD⊂mp(ABCD)
=> N∈mp(ABCD)
=> mp(ABCD)∩mp(E,d)=MN.
+) Vì H∈SB,SB⊂mp(SAB)
=> H∈mp(SAB).
Lại có: E∈mp(SAB) => EH⊂mp(SAB)
Vì E∈mp(E,d);H∈mp(E,d) => EH⊂mp(E,d)
Vậy mp(SAB)∩mp(E,d)=EH
+) I∈SD,SD⊂mp(SAD)
=> I∈mp(SAD)
Lại có: E∈mp(SAD) => E∈mp(SAD) => EI⊂mp(SAD)
Vì E∈mp(E,d);I∈mp(E,d) => EI⊂mp(E,d)
Vậy mp(SAD)∩mp(E,d)=EI
+) H∈SB⊂mp(SBC)
Vì M∈BC→M∈mp(SBC) => MH⊂mp(SBC)
Lại có: M∈d => M∈mp(E,d) và H∈mp(E,d) => HM⊂mp(E,d)
Vậy mp(SBC)∩mp(E,d)=HM
+) I∈SD⊂mp(SCD);
N∈CD⊂mp(SCD)
Do đó IN⊂mp(SCD)
Lại có: N∈d→N∈mp(E,d)
Vậy mp(SCD)∩mp(E,d)=IN