Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 18: Lũy thùa với số mũ thực

BÀI 18. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC (2 TIẾT)

I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN

HĐ 1:

 

Kết luận

- Cho là một số nguyên dương

+ Với là số thực tùy ý:

Với a là số thực khác 0:

 ;

- Trong biểu thức  gọi là cơ số, gọi là số mũ.

Chú ý:

 và ( với không có nghĩa.

Tính chất

Với  và m,n là các số nguyên, ta có:

Chú ý:

+ Nếu thì  khi và chỉ khi

+ Nếu thì  khi và chỉ khi

Ví dụ 1 (SGK -tr.5)

Luyện tập 1

1. a)
   b) kg.

II. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

HĐ 2

1. a)
   b) .

Kết luận

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu

Nhận xét:

+ Nếu n lẻ: mỗi số thực chỉ có một căn bậc kí hiệu

+ Nếu n chẵn: mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là  (gọi là căn số học bậc  của ), giá trị âm kí hiệu là

Câu hỏi:

Giả sử tồn tại số thực là căn bậc nguyên dương và là  là số chẵn) của  

Ta có:

Mà Suy ra mâu thuẫn.

Vậy số âm không có căn bậc chẵn.

Ví dụ 2 (SGK -tr.6)

Luyện tập 2

1. a)
2. b)

HĐ 3

a)

1. b)

Kết luận

Giả sử  là các số nguyên dương,  là số nguyên. Khi đó:

;

.

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

Ví dụ 3 (SGK -tr. 7)

Luyện tập 3

1. a)
2. b)

HĐ 4

1. a) Ta có: mà nên

1. b)

Theo câu a ta có  mà

 nên

Kết luận:

Cho số thực dương và số hữu tỉ , trong đó  là một số nguyên và là số nguyên dương. Lũy thừa của  với số mũ kí hiệu là xác định bởi

Câu hỏi:

Phải có điều kiện cơ số

vì khi n chẵn, nếu  sẽ không tồn tại căn bậc n của

Chú ý:

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ 4 (SGK -tr.7)

Luyện tập 4.

.

III. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

1. a) Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

HĐ 5

;

1. a) ;

.

1. b) Ta có

=

Vậy sai số tuyệt đối giữa  và  là giảm dần khi  càng lớn.

Kết luận:

Cho là số thực dương và  là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ  mà Khi đó, dãy số  có giới hạn xác định không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ  đã chọn.

Giới hạn đó gọi là luỹ thừa của  với số mũ , kí hiệu là .

Chú ý:

Lũy thừa với số mũ thực của một số dương có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ 5 (SGK -tr.8)

Ví dụ 6 (SGK -tr.8)

Luyện tập 5

.

Vận dụng

Số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm là:

1. 
   b) Tính lũy thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay