BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (3 TIẾT)

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

HĐ 1:

1. a) Trong quá trình đóng - mở cánh cửa:

+ Đường thẳng  cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định,

+ Đường thẳng  trên mặt sàn và luôn đi qua điểm  cố định (là giao của đường thẳng  và mặt sàn).

- Vì đường thẳng  quay quanh điểm  và  nên  vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua .

1. b) Lấy đường thẳng bất kì trên mặt sàn. Xét là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua  và song song với . Khi đó .

Kết luận:

Đường thẳng  được gọi là vuông góc với mặt phẳng  nếu  vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong

Chú ý:

Khi  vuông góc với , ta còn nói  vuông góc với  hoặc  và  vuông góc với nhau, kí hiệu

Câu hỏi:

 và (P) cắt nhau.

Vì nếu trái lại thì  song song hoặc nằm trên ,

Khi đó, tồn tại đường thẳng  

//  

Do đó, , mâu thuẫn với giả thiết  .

HĐ 2:

1. a) Vì là các hình chữ nhật nên
2. b)

Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ. Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Kết luận

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Câu hỏi:

Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác nên vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. Nên đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

Ví dụ 1 (SGK -tr.32)

Luyện tập 1

Vì  và là giao điểm của hai đường chéo AC, BD nên  là trung điểm của

Vận dụng

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế  (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đế).

II. TÍNH CHẤT

HĐ 3:

Ta có: .

Do vàphân biệt nên và  phân biệt.

Mà  đi qua  và vuông góc với .

Kết luận

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nhận xét

Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng  thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với

Ví dụ 2 (SGK-tr33)

Chú ý:

Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng  được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng  là tập hợp các điểm cách đều

HĐ 4:

1. a) Vì và cắt nhau theo một giao tuyến

Tương tự  và  cắt nhau theo một giao tuyến m

Do và cắt nhau nên cắt nhau; suy ra chúng phân biệt.  không trùng nhau.

Mặt khác,  có điểm chung O nên   cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

1. b) Ta có: đi qua O

Mà

Kết luận

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông óc với một mặt phẳng cho trước.

Luyện tập 2

Ta có:

Mặt khác, qua điểm  có duy nhất đường thẳng vuông góc với

thẳng hàng.

Ví dụ 3 (SGK -tr.34)

III. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

HĐ 5:

Vì  nên .

Mặt khác //  nên .

Mà là đường thẳng bất kì thuộc nên vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).

HĐ 6:

1. a) (P)

Mà   (P)

 cùng đi qua điểm O

 trùng .

1. b) Ta có //mà trùng c nên

Kết luận

- Nếu đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với  cũng vuông góc với (P).

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 4 (SGK -tr.35)

HĐ 7:

//

Do  vuông góc mọi đường thẳng b trong nên (Q).

HĐ 8:

1. a) (Q)  

Mà  và  là 2 mặt phẳng cùng đi qua O.

 trùng

1. b) mà trùng  nên .

Kết luận

- Nếu đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  thì   cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 5 (SGK -tr.35)

Luyện tập 3

Hai mặt phẳng đó song song vì hai mặt phẳng đó phân biệt, cùng vuông góc với một đường thẳng (đường chứa một trong các chân bàn).

HĐ 9:

Vì //(P) nên a //b trong (P). Mặt khác  nên

HĐ 10:

1. a) Do // và  nên  

a’ đi qua O và nên

1. b) Vì nên hoặc //

Ví dụ 6 (SGK -tr.36)

Luyện tập 4

+)

Gọi

Mà

//(MBD).