Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 4 (P4)

ÔN TẬP CHƯƠNG 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG (PHẦN 4)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ//CD

Trả lời:

   + Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD    (1)

   + Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD

⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3

⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

Bài 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Hai đường thẳng nào sau đây song song với nhau. Chứng minh MQ//RT

Trả lời:

   + Ta có: M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD   (1)

   + Ta có: R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD

⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD   (2)

   + Từ (1) và ( 2) suy ra: MQ // RT

Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Chứng minh: IJ // AB // CD // EF

Trả lời:

   + Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác)    (1)

   + Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD    (2)

   + Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD    (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Bài 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M; N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. Hai điểm P và Q cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ

Trả lời:

   + Xét mặt phẳng (ABP):

Ta có: M và N thuộc AB nên M; N thuộc mặt phẳng (ABP)

   + Mặt khác: CD ∩ (ABP) = P Và : Q ∈ CD

⇒ Q không thuộc mp (ABP)

⇒ 4 điểm M; N; P và Q không đồng phẳng. (chú ý 3 điểm A; M; N cùng thuộc mp (ABP)

Vậy: MP và NQ chéo nhau

Bài 5: Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm tam giác SAB .

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG) .

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) . Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành

Trả lời:

a) Giả sử (SAB) Ç (IJG) = MN với M Î SB  và N Î SA

Ba mặt phẳng (SAB); (IJG) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến là các đường thẳng MN AB , và IJ nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác AB / / IJ Þ MN / / AB / / IJ  

Do vậy (SAB) Ç (IJG) = MN với MN là đường thẳng qua G và song song với AB

b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là tứ giác MNIJ .

Ta có MNIJ là hình bình hành khi MN= IJ

Lại có

Do đó

 Vậy  thì thiết diện là hình bình hành.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp (MNP)

Trả lời:

a)    Ta có

Ta có

 b) Ta có

Gọi Q = AC ∩ MN 

Khi đó Q là trung điểm của AC.

Do đó SC // PQ (T/c đường trung bình trong tam giác SAC) mà PQ ⊂ (MNP) 

Vậy SC // (MNP)

Bài 7:  Cho tứ diện ABCD. Gọi  và  lần lượt là trọng tậm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng  song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)

Trả lời:

Gọi I là trung điểm CD

Vì  là trọng tâm của tam giác ACD nên  ∈ AI

Vì  là trọng tâm của tam giác BCD nên ∈ BI

 Ta có

AB  ⊂ (ABC)

Và AB ⊂ (ABD)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?

Trả lời:

+ Ta có (α) // AB + Ta có (α) // AB

⇒ giao tuyến (α) và (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB.

Qua O kẻ MN // AB (M ∈ BC, N ∈ AD)

⇒ (α) ∩ (ABCD) = MN.

+ (α) // SC + (α) // SC

⇒ giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua M và song song với SC.

Kẻ MQ // SC (Q ∈ SB).

+ (α) // AB + (α) // AB

⇒ giao tuyến của (α) và (SAB) là đường thẳng qua Q và song song với AB.

Từ Q kẻ QP // AB (P ∈ SA).

⇒ (α) ∩ (SAD) = PN.

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tứ giác MNPQ.

Ta có PQ// AB và NM // AB

=> PQ // NM

Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua O, song song với AB và SC.

Trả lời:

Gọi (P) là mặt phẳng qua O và song song với AB và SC

Ta có 

Tương tự

Trong (ABCD) gọi Q = PO ∩ AD thì thiết diện là tứ giác MNPQ

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

 a) Chứng minh rằng OG // (SBC)

 b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB)

d) Giả sử I nằm trên đoạn SC sao cho . Chứng minh rằng SA // (BID)

Trả lời:

a) Gọi H là trung điểm của SC, ta có

Từ (1) và (2)

Mà BH ⊂ (SBC) ⇒ OG / / (SBC)

b)    Gọi M’ là trung điểm của SA

Mặt khác vì BC // AD và  (gt) và BC = MM’ nên tứ giác BCMM’ là hình bình hành

Suy ra CM //BM’, mà BM' ⊂ (SAB) ⇒ CM / / (SAB)

c) Ta có nên

Mặt khác vì nên

 và

Bài 11: Cho hình chóp ,  và  là hai điểm thuộc cạnh  và ,  là mặt phẳng qua  và song song với .

Xác định thiết diện của hình chóp  khi cắt bởi.

 Trả lời:

a)    Ta có

.

Trong  gọi

Vậy

Từ đó ta có .

Thiết diện là tứ giác .

Bài 12: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng (MA’C’) cắt cạnh BC tại N. Tính tỉ số .

Trả lời:

Do (MA’C’) chứa A’C’, mặt phẳng (ABC) chứa AC, mặt khác A’C’//AC nên giao tuyến của (MA’C’) và đáy (ABCD) là MN thì MN // AC.

Do M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC do đó .

Bài 13: Cho tứ diện , là điểm huộc miền trong tam giác ,  là một điểm trên cạnh .

a) Dựng đường thẳng đi qua  cắt cả  và .

b) Gọi  là một điểm trên cạnh  sao cho  không song song với . Dựng đường thẳng đi qua  cắt  và .

Trả lời:

a) Trong  gọi

Trong  gọi

Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua  cắt cả  và .

b) Trong mặt phẳng  gọi

Trong (ABD) gọi , trong  gọi , thì NG chính là đường thẳng đi qua N cắt cả AO và DM.

Bài 14: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang với đáy lớn là . Một mặt phẳng (P) quay quanh  cắt  các cạnh  tại các điểm tương ứng .

a) Tìm tập hợp  giao điểm của   và .

b) Tìm tập hợp  giao điểm của   và .

Trả lời:

a) Phần thuận:

Ta có

, .

Trong  gọi

  .

.

Giới hạn:

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Phần đảo:

Lấy điểm  bất kì thuộc đoạn , trong (SAH) gọi , trong (SBH) gọi  khi đó (ABEF)  là mặt phẳng quay quanh  cắt các cạnh  tại  và  là giao điểm của  và .

Vậy tập hợp điểm  là đoạn .

b)    Ta có

Nhưng  nên .

Khi  chạy đến chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm  là đoạn .

Bài 15: Cho hình chóp  có đáy  là một hình bình hành tâm . Gọi  là ba điểm trên các cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .

Trả lời:

Trong mặt phẳng  gọi  lần lượt là giao điểm của  với .

Trong mặt phẳng  gọi

Trong mặt phẳng  gọi  

Trong mặt phẳng  gọi  .

Ta có

 , .

Lí luận tương tự ta có

Thiết diện là ngũ giác .

Bài 16: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Trả lời:

Gọi I = d1 ∩ d2 và  (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2).

Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N. Ta có

+ M  + M ∈ d1, mà d1 ⊂ (P) ⇒ M ∈ (P)

+ N  + N ∈ d2, mà d2 ⊂ (P) ⇒ N ∈ (P).

Nếu M ≠ N ⇒ d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

⇒ d3 ⊂ (P)

⇒ d1; d2; d3 đồng phẳng (trái với giả thiết).

⇒ M ≡ N  ⇒ M ≡ N ≡ I

Vậy ba đường thẳng d1; d2; d3 đồng quy.

Bài 17: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác sau BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy.

Trả lời:

Gọi N là trung điểm CD.

+ GA là trọng tâm ΔBCD + GA là trọng tâm ΔBCD

⇒ GA ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB) ⇒ AGA ⊂ (ANB)

GB là trọng tâm ΔACD

⇒ GB ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB) ⇒ BGB ⊂ (ANB).

Trong mp(ANB): AGA không song song với BGB

⇒ AGA cắt BGB tại O

+ Chứng minh tương tự: BGB cắt CGC; CGC cắt AGA. + Chứng minh tương tự: BGB cắt CGC; CGC cắt AGA.

+ CGC không nằm trong (ANB)  + CGC không nằm trong (ANB) ⇒ AGA; BGB; CGC không đồng phẳng (áp dụng kết quả của bài 1).

⇒ AGA; BGB; CGC đồng quy tại O

+ Chứng minh tương tự cho: AGA; BGB; DGD đồng quy tại O. + Chứng minh tương tự cho: AGA; BGB; DGD đồng quy tại O.

Vậy AGA; BGB ; CGC; DGD đồng quy tại O.

Bài 18: Tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song với nhau. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm của đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mp (MAB).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.

Trả lời:

a) Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

Ta có E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N. + Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy

+ Trong mặt phẳng (SAC) + Trong mặt phẳng (SAC)  SO và AM cắt nhau.

+ Trong mp(MAB) MA và BN cắt nhau + Trong mp(MAB) MA và BN cắt nhau

+ Trong mp(SBD) SO và BN cắt nhau. + Trong mp(SBD) SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng. + Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.

Bài 19: Cho hình lập phương  cạnh . Gọi  là trung điểm của  là tâm hình vuông . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (ABCD), (A’ABB’), (A’D’DA), (CDD’C’) với mặt phẳng .
Trả lời:

Gọi  thì  là trung điểm của , nối  cắt  và  lần lượt tại các điểm  và . Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Do  nên  là trọng tâm tam giác  nên

Ta có:

Lại có:  nên

(Áp dụng hệ thức Herong cho tam giác EGC)

Suy ra .

Bài 20: Cho hình hộp . Trên cạnh  lấy điểm  khác  và . Gọi  là mặt phẳng đi qua  và song song với mặt phẳng . Đặt . Tìm  để hình tạo bởi các giao tuyến các mặt của hình hộp với mặt phẳng  có diện tích lớn nhất.

Trả lời:

Ta có:

Ta dựng

Dựng  (xem hình vẽ)

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Giả sử , tứ giác  đều là các hình thang cân.

Ta có:

+)  +)

+)  +)

Ta có:

Tương tự ta có:

Do đó diện tích là  đạt giá trị lớn nhất khi .