BÀI 32: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Đáp án:

Giả sử ∆ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Khi đó AH là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Vậy chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Bài 2: Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên trong hình 1

Đáp án:

Đường vuông góc: AH

Đường xiên: AB, AC

Bài 3: Cho đường thẳng a và điểm O (không thuộc đường thẳng a) hãy vẽ đường vuông góc và ba đường xiên kẻ từ điểm O đến đường thẳng a. Chỉ ra các đường xiên và đường vuông góc và đường xiên vừa vẽ

Đáp án:

Đường xiên: OB, OM, OK

Đường vuông góc: OH

Bài 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm H bất kì. So sánh AH và BH.

Đáp án:

Xét ∆AHC có BH là đường vuông góc và AH là đường xiên 

⇒AH>BH 

Bài 5: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại B, ta lấy điểm M. So sánh MA và MB, MC và MB

Đáp án:

Xét ∆MAC có BM là đường vuông góc, MA và MC là đường xiên 

⇒MA>MB; MC>MB

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có B<40.

1. a) Hãy so sánh các cạnh của tam giác.
2. b) Lấy điểm M bất kỳ thuộc đoạn thẳng AC. Hãy so sánh độ dài BM và BC.

Đáp án:

1. a) △ABC vuông tại A có B<40

C>50 (vì B+C=90) 

Khi đó A>C>B theo định lí ta có BC>AB>AC.

1. b) Xét △ABM có BAM=90(gt)

AMB+ABM=90 AMB là góc nhọn.

Mà AMB+BMC=180 (2 góc kề bù) BMC là góc tù.

Xét △BMC có BMC là góc tù (cmt)

BCM là góc nhọn hay BMC>BCM BC>BM.

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn và B>C. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Hãy sắp xếp các đoạn thẳng AB,AH và AC theo thứ tự độ dài tăng dần.

Đáp án:

Vì B>C nên theo định lí 2 bài 31 ta có AC>AB

H là hình chiếu của A trên BC nên AH là độ dài đường vuông góc kẻ từ A đến BC

AB và AC là các đường xiên kẻ từ A đến BC

Do đó AH<AB<AC.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn

1. a) Vẽ H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC.
2. b) Vẽ K là hình chiếu của H trên đường thẳng AB.
3. c) Chứng minh rằng HK<BH<BC.

Đáp án:

1. c) Xét △BHC vuông tại H nên BH là đường vuông góc kẻ từ B đến AC

BC là độ dài đường xiên kẻ từ B đến AC nên BC>BH

Xét ΔBKH vuông tại K nên HK là đường vuông góc kẻ từ H đến AB,
BH là đường xiên kẻ từ H đến AB nên BH>HK

Từ (1) và (2)⇒HK<BH<BC.

Bài 3: Cho hình vẽ. Cho HM<HN. Chứng minh rằng: AM<AN 

Đáp án:

Xét △AHM vuông tại H

Ta có HM là đường vuông góc kẻ từ M đến AH,AM là đường xiên kẻ từ M đến AH nên theo định lí ta có HM<AM (vì HM<HN nên M nằm giữa hai điểm H và N )

AMN là góc ngoài của △AHM

AMN>AHM=90

Do đó AMN là góc tù, xét △AMN vì AMN tù

AMN>N theo định lí ta có:AM<AN.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, vẽ AD vuông góc với BC(DBC), BE vuông góc với AC(E∈AC). Chứng minh rằng AD+BE<BC+AC.

Đáp án:

Xét △ADC vuông tại D ta có AD là đường vuông góc kẻ từ A đến BC,AC là đường xiên kẻ từ A đến BC 

Suy ra AD<AC

CMTT với △BEC vuông tại E ta cũng có BE<BC

(BE là đường vuông góc kẻ từ B đến AC và BC là đường xiên)

Cộng (1) và (2) ta có AD+BE<AC+BC.

Bài 5: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE. So sánh BD + CE với AB + AC

Đáp án:

Ta có BD và CE là hai đường cao của ABC

⇒BD⊥AC và CE⊥AB

⇒BD và CE là hai đường vuông góc ứng với hai đường xiên AC và AB

⇒BD<AB và EC<AC (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

⇒BD+CE=AB+AC 

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. Chứng minh BD + BE > 2AB

Đáp án:

Ta có ABM vuông tại A (gt)

⇒BA<BM (quan hệ giữ đường xiên và đường vuông góc)

Mà BM = BD + DM

⇒AB<BD+MD (1)

Lại có BM + ME = BE

⇒BM=BE-ME 

⇒BA<BE-ME (2)

Từ (1) và (2) ⇒AB+AB<BD+MD+BE-ME (3)

Có M là trung điểm AC

⇒AM=MC 

Xét ADM vuông tại D và CEM vuông tại E, ta có:

AM = MC (cmt)

AMD=CME (2 góc đối đỉnh)

⇒ △ADM= CEM (ch-gn)

⇒MD=ME (2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) ⇒2AB<BD+BE (dpcm)

Bài 2: Cho tam giác ABC có BD và CE với E∈AB, D∈AC. So sánh BD + CE với 2BC

Đáp án:

Ta có BC và CE lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến AB

⇒CE<BC (1)

Ta có BC và BD lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ B đến AC

⇒BD<BC (2)

Từ (1) và (2)

⇒BD+CE<BC+BC 

⇒BD+CE<2BC (dpcm)

Bài 3: Cho ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm D và E (không trùng với đỉnh của △ABC). Chứng minh rằng DE < BE < BC

Đáp án:

Vì D nằm giữa A và B ⇒AD<AB.

Mà AD và AB lần lượt là hình chiếu của DE và BE trên AB

⇒DE<BE (1)

Vì E nằm giữa A và C ⇒AE<AC.

Mà AE và AC lần lượt là hình chiếu của BE và BC trên AC

⇒BE<BC (2)

Từ (1) và (2) DE<BE<BC

Bài 4: Cho ABC có 90<A<180. Trên cạnh AB và AC, lấy lần lượt hai điểm M và N (không trùng với đỉnh của △ABC). Chứng minh rằng AB < BN < BC

Đáp án:

Từ B kẻ BH AC, vì BAC là góc tù ⇒H nằm ngoài AC

Lúc này, AB, BC, BN là các đường xiên kẻ từ B đến AC

AH, CH và NH là các hình chiếu của AB, BC và BN trên AC

Lại có AH < NH < CH AB < BN < BC (dpcm)

Bài 5. Trong ABC lấy điểm D. Chứng minh rằng nếu AD = AB thì AB < AC

Đáp án:

Kẻ AP BD

Gọi E là giao điểm của AC và BD 

Ta có, DP và BP lần lượt là hình chiếu của AD và AB trên BE 

Mà AB = AD (gt) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

⇒DP=BP 

Vì PE > DP ⇒PE>BP ⇒AE>AB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Mà AC > AE

⇒AC>AB 

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Bài 1: Cho xOy=60°, trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Chứng minh rằng OA + OB < 2AB.

Đáp án:

Kẻ tia phân giác Ot của xOy

xOt=yOt=xOy2=602=30°

Gọi I là giao của AB và Ot

H và K lần lượt là hình chiếu của A, B trên tia Ot.

Xét OAI có AOI=30° nên OI = 2AI.

Mà OA < OI suy ra OA < 2AI (1)

CMTT ta có OB < 2BI (2)

(Vì trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

Từ (1) và (2) OA + OB < 2AI + 2BI

Mà AI + BI = AB

OA + OB < 2AB 

Bài 2. Cho tam giác ABC

1. a) Từ A kẻ AH⊥BC(H∈BC). Chứng minh rằng AH<AB+AC2
2. b) Từ B kẻ BK⊥ACK∈AC, từ C kẻ CI⊥AB(I∈AB). Chứng minh rằng AH + BK + CI nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC.

Đáp án:

1. a) AH < AC, AH < AB (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Vậy 2AH<AC+AB⇒AH<AC+AB2 (1)

1. b) Tương tự: BK<BC+AB2 (2); CI<AC+BC2 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

AH+BK+CI<AC+AB2+BC+AB2+AC+BC2 

Hay AH+BK+CI<AB+BC+AC