Bài tập file word toán 8 cánh diều Chương 5 bài 2: Tứ giác

BÀI 2: TỨ GIÁC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tìm giá trị của trong các hình vẽ sau 

Giải: 

Ta có tổng các góc trong một tứ giác là

a)

1. b)

Câu 2: Cho hình vẽ. Tính

Giải:

Ta có tổng các góc trong một tứ giác là

a)

1. b) Vì góc ngoài tai K  có số đo là nên

Góc ngoài tai L có so đo là nên

Ta có tổng các góc trong một tứ giác là

Câu 3: Cho tứ giác ABCD có . Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.

Giải: 

Ta có tổng các góc trong một tứ giác là

Số đo góc ngoài tại đỉnh D có số đo là .

Câu 4: Tứ giác ABCD có . Tính các góc .

Giải:

Từ đó tính được ;

Câu 5: Cho tứ giác ABCD, biết . Tính số đo các góc ngoài của tứ giác ABCD.

Giải:

Ta có tổng các góc trong một tứ giác là

Góc ngoài tại A có số đo là

Góc ngoài tại B có số đo là

Góc ngoài tại C  có số đo là

Góc ngoài tại D  có số đo là

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tứ giác ABCD, O là giao điem cna hai đưòng chéo AC và BD. Chứng minh

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Áp dung bất đẳng thức trong tam giác ta có
2. b) Tương tự trên, áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có

Câu 2: Cho tứ giác ABCD biết

1. a) Tính số đo các góc của tứ giác.
2. b) Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của  và của tứ giác. Chứng minh:

Giải:

1. a) Từ giả thiết ta có:

Vì .

.

.

1. b) Trong tam giác ABI: .

Câu 3: Cho tứ giác ABCD, Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết Chứng minh rằng

Giải:

Xét có  

(vì ).

Xét tứ giác ABCD có do đó 

Vậy Theo đề bài nên

Mặt khác, nên Do đó  

Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD có , . Chứng minh AC là tia phân giác của .

Giải:

Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho  

Ta có (cùng bù với góc).

. Từ đó ta có . 

Suy ra: và  

Tam giác ACI cân tại C nên .

Vậy AC là phân giác trong góc .

Câu 5: Tứ giác ABCD có . Chứng minh rằng

Giải:

Gọi O là giao điểm AD và BC. 

Ta có nên

Áp dụng định lí Py – ta – go,

Ta có

Nên

Câu 6: Cho tứ giác ABCD có AB = BC; CD = DA

1. a) Chứng minh BD là đường trung trực của AC.
2. b) Cho góc . Tính

Giải:

1. a) Vì AB = BC suy ra B thuộc đường trung trực của AC.

    Vì DA = DC suy ra D thuộc đường trung trực của AC.

BD là đường trung trực của AC.

1. b) Xét và có

Vì .

Câu 7: Cho tứ giác ABCD, biết rằng . Tính các góc của tứ giác ABCD.

Giải: 

Vậy

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho tứ giáccólà giao điểm các tia phân giác của các góc và

1. a) Tính biết .
2. b) Tính theo và .
3. c) Các tia phân giác của góc và cắt nhau ở và cắt các tia phân giác các góc và thứ tự ở và . Chứng minh rằng tứ giác có các góc đối bù nhau.

Giải:

1. a) Tứ giác có

có nên .

1. b) Giải tương tự như câu a, .
2. c) Chứng minh tương tự như câu b, ta được .

Do đó: . 

Suy ra:

Câu 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD.

Giải: 

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. 

Xét vuông tại O ta có

Chứng minh tương tự ta có

Do đó

Suy ra

Câu 3: Cho tứ giác ABCD có góc tia phân giác góc B cắt đường thẳng AD ở E; tia phân giác của góc D cắt đường thẳng BC ở F. Chứng minh rằng: BE // DF.

Giải:

Xét vuông tại C, có: 

Xét tứ giác ABCD, có: 

Từ và , suy ra . Mà và nằm ở vị trí đồng vị 

BE // DF

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để nhỏ nhất.

Giải:

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức:

.

Từ đó suy ra  

khi M trùng với I.

Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì nhỏ nhất.

Câu 2: Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng của hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. 

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được:

Do đó hay

Chứng minh tương tự, ta được:

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

Xét các ta có

Tương tự có:

Cộng từng vế của (3) và (4) được:

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.