Bài tập file word toán 8 cánh diều Chương 5 bài 5: Hình chữ nhật

BÀI 5: HÌNH CHỮ NHẬT

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

Giải: 

Tam giác ABC vuông tại A nên ; mà D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC nê

Vì tại D nên

Vì tại E nên

Xét tứ giác ADME có:

Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

Câu 2: Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G. 

1. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? 
2. b) Nếu ΔABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

 Giải:

1. a) Ta có 

GM = GP (vì P là điểm đối xứng của M qua G ) (1) 

GN = GQ (vì Q là điểm đối xứng của N qua G ) (2) 

Từ (1), (2)  suy ra MNPQ là hình bình hành (vì có G là trung điểm của hai đường chéo MP và NQ ) 

1. b) Nếu ΔABC cân tại A thì AB = AC, khi đó ta có Δ AMB = Δ ANC (g.c)

⇒  MB = NC vì thế ta lại có MP = NQ . 

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC . Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Giải: 

1. a) Ta có ( vì vuông cân tại C )  (1)

Vì nên (hai góc đồng vị)  (2)

Từ (1),(2) suy ra

cân tại P ⇒ AP = PM (hai cạnh bên bằng nhau)

Ta có

Ta có: PCQM là hình bình hành 

Lại có .

Vậy PCQM là hình chữ nhật.

Câu 4: Tìm giá trị của x từ các thông tin trên hình sau

Giải:

Kẻ BH ⊥ CD, tứ giác ABHD có

⇒ Tứ giác ABHD là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất của hình chữ nhật ta có

Ta có: CD = DH + HC ⇒ HC = CD - DH = 15 - 10 = 5 (cm)

Xét Δ BCH, áp dụng định lý Py – to – go ta có:

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), trung tuyến AM. E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.

 Giải:

Theo tính chất tam giác vuông, ta có .

Tam giác CMA cân tại M và F là trung điểm AC suy ra  

Chứng minh tương tự:  

Vậy AEMF là hình chữ nhật.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Giải: 

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 cm.

Xét tam giác giác BHA vuông tại H, theo định lí Pytago ta có

Xét tam giác AHD vuông tại H, theo định lí Pytago ta có

Từ (1); (2)

Xét tam giác ABD vuông tại A, theo định lí Pytago ta có

Thay vào (3) ta có

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia CB và DA lấy lần lượt hai điểm E và F sao cho . Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho . Chứng minh rằng:

1. a) Tứ giác là hình chữ nhật.
2. b) .

Giải:

1. a) Theo giả thiết,  và

Suy ra tứ giác   là hình bình hành.

Mặt khác, . 

Vậy là hình chữ nhật.

1. b) Ta có

Hai tam giác AFE và HDF có:

,  

Do đó  

Mặt khác  

Vậy

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?

Giải:

D đối xứng với G qua M 

G là trọng tâm của 

Suy ra BG = GD.

E đối xứng với G qua N 

G là trọng tâm của 

Suy ra CG = GE.

Tứ giác BEDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Hình bình hành BEDC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Biết và Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Giải: 

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có

Vì nên AD = AO. 

Vẽ AH ⊥ OD, OK ⊥ AB.

Xét ΔAOD cân tại A, AH là đường cao 

⇒ AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó HO = HD và  

Vì nên

(cạnh huyền, góc nhọn)

Xét ΔABH vuông tại H có nên suy ra

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi AH là đường cao và M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.

1. a) Chứng minh tứ giác DAHB là hình chữ nhật.
2. b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMPN là hình chữ nhật.

Giải: 

1. a) Ta có MA = MB (giả thiết)

MD = MH (tính chất đối xứng)

 DAHB là hình bình hành.

Lại có  (giả thiết)

Do đó tứ giác DAHB là hình chữ nhật.

1. b) Ta có NP là đường trung bình của (M, P là trung điểm của AC và BC)  

và  hay  và MP = AM. Do đó AMPN là hình bình hành.

Hình bình hành AMPN là hình chữ nhật 

Do đó vuông tại A.

Câu 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật. 

Giải:

cân tại A, AH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác. 

Do đó và

Ta có AH // DN (vì cùng vuông góc với BC) 

(cặp góc đồng vị); (cặp góc so le trong).

Do đó (vì

Vậy cân tại A mà AK là đường trung tuyến nên AK cũng là đường cao,

Tứ giác   có nên tứ giác là hình chữ nhật.

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, điểm E thuộc cạnh CD. Đường vuông góc với AE tại A cắt BC ở F. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng OM là đường trung trực của AC.

Giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên (1).

AM và CM là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông và nên (cùng bằng ) (2).

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AC.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Giải: 

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có 

Lại có: 

G đối xứng với với D qua M

G đối xứng với E qua N

Từ (1); (2); (3)

G là trung điểm của BD; G là trung điểm CE

Xét tứ giác BCDE có:

G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE 

Do đó tứ giác BCDE là hình bình hành.

Lại có: ABC cân tại A nên AB = AC. 

Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM 

Xét tam giác BNC và tam giác CMB có 

BC chung 

BN = CM 

(do tam giác ABC cân tại A) 

Do đó BNC  = CMB (c – g –c)  (hai cạnh tương ứng) 

Mà

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC và BD bằng nhau

Hình bình hành BCDE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Câu 2: Cho tam giác vuông ở , đường cao , trung tuyến . Gọi theo thứ tự là hình chiếu của trên .

1. a) Tứ giác ADHE là hình gì?
2. b) Chứng minh . Trong trường hợp nào thì ?
3. c) Chứng minh .

Giải:

1. a) Tứ giác có nên là hình chữ nhật, do đó .
2. b) Ta lại có: do đó .

Mà . 

Khi đó là tam giác vuông cân ở .

1. c) Gọi là giao điểm của và . là giao điểm của và . 

Ta có: (do cân ở  )

(do cân ở  ) nên

Do đó .

Câu 3: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?

 Giải:

Ta có là đường trung bình của  

Ta có là đường trung bình của  

Từ (1) và (2) suy ra  

Vậy EFGH là hình bình hành  (3)

Ta có là đường trung bình của  

Ta có

Ta có

Từ (3) , (4) suy ra hình bình hành EFGH có nên EFGH là hình chữ nhật.
4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A , các đường cao BD và CE. Kẻ đường vuông góc DH từ D đến BC. Đường thẳng đi qua H và song song với CE cắt DE ở K.

1. a) Gọi O là giao điểm của BD và HK. Chứng minh rằng .
2. b) Chứng minh rằng BKDH là hình chữ nhật.

Giải:

1. a) Ta có: phụ , phụ , mà nên (1).

nên (đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra:

do đó cân tại O, suy ra (3).

1. b) Ta có phụ , phụ , mà (chứng minh trên) nên , do đó cân tại O, suy ra (4).

(cạnh huyền – góc nhọn) nên . 

Các tam giác cân và ABC có chung góc ở đỉnh A nên các góc ở đáy bằng nhau .

Do đó (so le trong).

Ta lại có (chứng minh trên) nên suy ra (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra: .

Tứ giác BKDH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.

Câu 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Giải thích? 

Giải:

Theo giả thiết ta có EF, GH lần lượt là đường trung bình của tam giác Δ ABC, Δ ADC

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác ta được

Chứng minh tương tự: EH//FG//BD ( 2 )

Từ (1) và (2), tứ giác EFGH có hai cặp cạnh đối song song nên tứ giác EFGH là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của EF với BD.

Áp dụng tính chất của các góc đồng vị vào các đường thẳng song song ở trên và giả thiết nên ta có:

Hình bình hành EFGH có một góc vuông nên EFGH là hình chữ nhật.