Bài tập file word Toán 8 cánh diều Ôn tập Chương 5: Định lí Pythagore. Tứ giác (P3)

ÔN TẬP CHƯƠNG 5. TAM GIÁC, TỨ GIÁC (PHẦN 3)

Bài 1: Tính diện tích của tam giác ABC. Biết rằng AB = 12, AC = 16, BC = 20.

Trả lời:

Áp dụng định lý Py-ta-go đảo, ta biết được tam giác ABC vuông tại A.

SABC=AB.AC/2=12.16/2=96 (đvdt)

Bài 2:  Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Trả lời:

Ta có 6² =36, 8² = 64, 10² = 100

Mà 100 = 36 + 64 hay 10² = 8² + 6²

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Bài 3: Đoạn lên dốc từ C đến A dài 8,5m, độ dài CB bằng 7,5m. Tính chiều cao AB.

Trả lời:

Áp dụng định lí Py–ta–go vào tam giác vuông ABC vuông tại B ta có:

AB² + BC² = AC²

Nên AB² = AC² – BC²

= 8,5² – 7,5²

= 72,25 – 56,25

=16

⇒ AB = 4 (m)

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Hình vuông có diện tích 400. Tính OA?

Trả lời:

Diện tích hình vuông là  nên AB = 20 cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có

Suy ra

Vì ABCD là hình vuông có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC

Suy ra 

Bài 5: Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là

Trả lời:

Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a (a là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có 4a = 28 ⇔ a = 7cm

Vậy cạnh hình vuông là a = 7cm

Bài 6: Tìm độ dài  trên hình sau

Trả lời:

1. Áp dụng định lí Py – ta – go ta có :

1. b) Áp dụng định lí Py – ta – go ta có :

Bài 7:  Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:

1. a) AI // CK
2. b) DM = MN = NB

 Trả lời:

+ K là trung điểm của AB ⇒ 

+ I là trung điểm của CD ⇒ 

+ ABCD là hình bình hành

⇒ AB // CD hay AK // CI

và AB = CD ⇒  hay AK = CI

+ Tứ giác AKCI có AK // CI và AK = CI ⇒ AKCI là hình bình hành.

1. b)  AKCI là hình bình hành ⇒AI//KC hay MI//NC.

ΔDNC có: DI = IC, IM // NC ⇒ DM = MN (1)

+ AI // KC hay KN//AM

ΔBAM có: AK = KB, KN//AM ⇒ MN = NB (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM = MN = NB.

Bài 8: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Đường vuông góc với BC tại M và đường vuông góc với AC tại N cắt nhau ở O.

1. a) Trên tia đối của tia OC, lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng AHBK là hình bình hành.
2. b) Chứng minh .

Trả lời:

1. a) Tam giác có

nên OM là đường trung bình của  

Suy ra .

Ta lại có  (cùng vuông góc với BC).

Suy ra .

Chứng minh tương tự ta có: .

Tứ giác AHBK có  nên là hình bình hành.

1. b) AHBK là hình bình hành nên .

Ta lại có  nên .

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có M; N và H lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC. Hỏi tứ giác AMHN là hình gì?

Trả lời:

Vì N và H lần lượt là trung điểm của AC và BC nên NH là đường trung bình của tam giác

Suy ra  

Chứng minh tương tự, có MH là đường trung bình của tam giác ABC nên

Tứ giác AMHN có 2 các cạnh đối song song với nhau nên là hình bình hành

Lại có góc  nên tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

Theo giả thiết, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên AC = AB (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: NH = MH.

Hình chữ nhật AMHN có hai cạnh liền kề NH và MH bằng nhau nên là hình vuông

Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để hình bình hành EFGH là hình vuông.

Trả lời:

Ta có EH; EF lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD; BAC nên 

Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi

Từ (1); (2) ⇒ thì hình bình hành EFGH là hình vuông

Bài 11: Cho hình sau. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

Tứ giác AEDF có EA // DF (cùng vuông góc AF)

DE // FA (cùng vuông góc AE)

⇒ AEDF là hình bình hành (theo định nghĩa)

Hình bình hành AEDF có đường chéo AD là phân giác của góc A

⇒AEDF là hình thoi.

Hình thoi AEDF có Â = 90º

⇒ AEDF là hình vuông.

Bài 12: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài lần lượt là 8cm và 10cm. Độ dài cạnh của hình thoi đó là?

Trả lời:

Độ dài đường chéo của hình thoi lần lượt là

Độ dài cạnh của hình thoi là

Bài 13: Cho hình thang  gọi  lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang.

1. a) Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành
2. b) Hình thang phải có thêm điều kiện gì để tứ giác là hình thoi?

 Trả lời:

1. a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác cho và ta sẽ có:

 và   là hình bình hành.

1. b) Tương tự ta có:

 và

Nên để  là hình thoi thì  khi đó  và trung trực hay trục đối xứng của  và  hình thang  là hình thang cân.

Bài 14: Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi.

 Trả lời:

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên

Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ

Mà  (cmt);  (do MQ là đường trung bình tam giác ABD)

Suy ra AC = BD

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD

Bài 15: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC. Các đường BE, DE cắt các đường chéo AC tại P và Q. Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu góc ACD bằng bao nhiêu?

 Trả lời:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tứ giác EDFB có   nên EDFB là hình bình hành          Suy ra

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD ⇒ 

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD ⇒ 

Mà BE = DF (cmt) ⇒ EP = QF

Xét tứ giác EPFQ có  ⇒ EPQF là hình bình hành

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ.

Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)

Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD

Bài 16: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Trả lời:

Ta có: EB = EA, FB = FA (gt)

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

Do đó EF // AC

HD = HA, GD = GC (gt) nên HG là đường trung bình của ΔADC.

Do đó HG // AC

Suy ra EF // HG         (1)

Chứng minh tương tự EH // FG         (2)

Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình bình hành

Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF

EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EHHình bình hành EFGH có Ê = 90º nên là hình chữ nhật

Bài 17: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài AD.

 Trả lời:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Xét 2 tam giác vuông tại O ta có

Chứng minh tương tự ta có

Do đó

Suy ra

Bài 18:  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

 Trả lời:

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 cm.

Xét tam giác giác BHA vuông tại H, theo định lí Pytago ta có

Xét tam giác AHD vuông tại H, theo định lí Pytago ta có

Từ (1); (2)

Xét tam giác ABD vuông tại A, theo định lí Pytago ta có

Thay vào (3) ta có

Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, điểm E thuộc cạnh CD. Đường vuông góc với AE tại A cắt BC ở F. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng OM là đường trung trực của AC.

 Trả lời:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên  (1).

AM và CM là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông  và  nên (cùng bằng ) (2).

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AC.

Bài 20: Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng của hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

 Trả lời:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được:

Do đó  hay

Chứng minh tương tự, ta được:

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

Xét các  ta có

Tương tự có:

Cộng từng vế của (3) và (4) được:

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.