Bài tập file word Toán 8 cánh diều Ôn tập Chương 8: Tam giác đồng dạng. Hình đồng dạng (P1)

ÔN TẬP CHƯƠNG 8. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG, HÌNH ĐỒNG DẠNG (PHẦN 1)

Bài 1: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh: EM song song với DC;

Trả lời:

Vì ED = EB do đó E là trung điểm của BD

Lại có M là trung điểm của BC 

Suy ra EM là đường trung bình của tam giác BCD

=> EM // CD

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh: M, N ,P, Q cùng nằm trên một đường thẳng

Trả lời:

1. a) Ta có M là trung điểm của AD, Q là trung điểm BC

=> MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> MQ // AB // CD (1)

M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BD

=> MN là đường trung bình của tam giác DAB

=> MN // AB (2)

P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC

=> PQ là đường trung bình của tam giác ABC

=> PQ // AB (3)

Từ (1), (2) , (3) => MN // MQ // QP // AB

=> bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

=> M, N, P, Q thuộc cùng một đường thẳng

Bài 3: Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên cạnh BC. Khi điểm M di chuyển trên BC thì trung điểm I của AM di chuyển trên đường nào.

Trả lời:

Gọi E, F là trung điểm của AB và AC. Ta sẽ chứng minh E, I, F thẳng hàng.

Do E, I lần lượt là trung điểm của AB và AM nên EI là đường trung bình của tam giác ABM

=> EI //BM  EI // BC (1)

Do F, I lần lượt là trung điểm của AC và AM nên IF là đường trung bình của tam giác AMC 

=> IF // MC  FI // BC (2)

Từ (1) và (2) => E, I, F thẳng hàng 

Mà E là trung điểm AB, F là trung điểm AC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Mà E, F cố định do AB, AC cố định

Nên khi M di chuyển trên BC thì trung điểm I của AM di chuyển trên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Bài 4: Cho Δ ABC có BD là đường phân giác, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AC = 6cm. Tính DA và DC

Trả lời:

BD là đường phân giác của Δ ABC

Ta có: DA/DC = AB/BC ⇔ DA/(DA + DC) = AB/(AB + BC)

Hay DA/6 = 8/(8 + 10) ⇒ DA = (6.8)/18 = 8/3 ( cm ); DC = 10/3 (cm)

Bài 5: Cho Δ ABC. Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. Tính kết quả đúng của độ dài cạnh x ?

Trả lời:

Δ ABC có AD là phân giác trong của góc A.

Ta có: DB/DC = AB/AC ⇒ DB/(BC - DB) = AB/AC

Hay 9/(21 - 9) = 6/x ⇒ x = (12.6)/9 = 8

Bài 6: a) Cho hai số 5 và 8. Hãy tính tỉ số giữa hai số đã cho

1. b) Hãy đo và tính tỉ số giữa hai độ dài (theo mm) của hai đoạn thẳng AB và CD trong Hình 1

Trả lời:

1. a) Tỉ số giữa hai số 5 và 8 là: 58
2. b) Độ dài đoạn AB: 3.5 cm

Độ dài đoạn CD: 4.5 cm

Tỉ số của hai đoạn AB và CD: 

Bài 7: Trên một tờ giấy kẻ caro có các đường kẻ ngang song song và cách đều nhau.

1. a) Vẽ một đường thẳng d cắt các đường kẻ ngang của tờ giấy như trong Hình 5a. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ và QE

1. b) Vẽ một tam giác ABC rồi vẽ một đường thẳng song song với cạnh BC và cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại B' và C'. Trên cạnh AB, lấy đoạn AI làm đơn vị đo tính tỉ số AB' và B'B; trên cạnh AC, lấy đoạn AJ làm đơn vị đo tính tỉ số AC' và C'C (Hình 5b)

So sánh các tỉ số  và ; và và  và 

Trả lời:

1. a) độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ và QE bằng nhau

b)

Suy ra

Suy ra

Vậy

Bài 8: Tính độ dài cạnh MQ của tam giác MPQ trong Hình 6

Trả lời:

Trong tam giác MPQ , ta có MN là đường phân giác góc M, suy ra 

 nên 

Suy ra 

Bài 9:  Tính độ dài x trong Hình 7

Trả lời:

1. a) Trong tam giác ABC , ta có AD là đường phân giác góc A, suy ra nên 

Suy ra 

1. b) Trong tam giác EFG , ta có EH là đường phân giác góc E, suy ra nên 

Suy ra 12x=18(20−x)

1. c) Trong tam giác PQR , ta có RS là đường phân giác góc R, suy ra nên 

Bài 10: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D

1. a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC
2. b) Tính tỉ số diện tích giữa ΔADB và ΔADC

Trả lời:

1. a) Tam giác ABC có AD là đường phân giác

⇒

⇒

Nên 

cm, cm

1. b) Vẽ AH⊥BC tại H

Bài 11: 

Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' như hình vẽ. Tính tỉ số đồng dạng?

Trả lời:

Ta có Δ ABC ∼ Δ A'B'C'. Khi đó tỉ số đồng dạng là

Bài 12:  Cho ABC. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác đó, biết tỉ số đồng dạng . Có thể dựng được bao nhiêu tam giác như thế?

Trả lời:

- Tại đỉnh A dựng tam giác  đồng dạng với tam giác ABC  theo tỉ số  bằng cách

Kẻ B’C’//BC sao cho

- Tam giác có 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trên, sẽ được ba tam giác đồng dạng với tam giác  .

Bài 13: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác A'B'C' và có chu vi bằng 55cm. Hãy tính độ dài của các cạnh tam giác A'B'C' (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Trả lời:

Vì  (gt)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Hay  

Với  và  lần lượt là chu vi của hai tam giác ABC, A'B'C')

+)

+)

+)

Bài 14: Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúnglà 12,5 cm. Tính hai cạnh đó.

Trả lời:

Giả sử ∆A'B'C' đồng dạng ∆ABC và AB-A'B'=12,5 cm

Vì ∆A'B'C' đồng dạng ∆ABC (giả thiết) nên ta có:

Với  và  lần lượt là chu vi của hai tam giác ABC, A'B'C')

Do đó,

 cm

Bài 15: Cho DABC có AB =18 cm; AC =27 cm;  BC=30 cm. Gọi  D là trung  điểm  của  AB, E thuộc cạnh  AC sao cho  AE cm = 6 .

1. a) Chứng minh rằng:  DAED DABC
2. b) Tính độ dài DE

 Trả lời:

1. a) Xét ta có:

chung

DAED  DABC (c.g.c)

b, Vì DAED  DABC nên ta có:

Bài 16: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A'; B'; C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. Chứng minh rằng BB' + CC' = 2AA'

Trả lời:

Gọi N là hình chiếu của M trên d.

Xét tứ giác BB'CC' có BB' // CC' (cùng vuông góc d)

Þ BBCC' là hình thang.

M là trung điểm BC và MN // BB' // CC' (cùng vuông góc d)

Þ MN là đường trung bình của hình thang BBCC'

Þ BB' + CC' = 2MN (1)

Chứng minh được

Þ AA' = MN  (2)

Từ (1); (2) suy ra BB' + CC' = 2AA'

Bài 17:  Cho ABC vuông tại A và DEF vuông tại D có BC = 10cm, AC = 8cm, EF = 5cm, DF = 4cm.

1. a) Tính AB, DE.
2. b) Chứng minh: .

Trả lời:

1. a) Tính AB, DE.
2. b)

Bài 18: Chotheo tỉ số . Tính chu vi của mỗi tam giác biết hiệu chu vi của hai tam giác là 20cm.

Trả lời:

Kí hiệu P(ABC) là chu vi ABC. Vìtheo tỉ số nên ta có

Từ đó ta được P(ABC) = 30cm và P(DEF) = 50cm.

Bài 19: Trong một mô phỏng về quá trình nhật thực. Người ta làm ra một mặt trời là một quả cầu có đường kính 20cm. Mặt trăng là một quả cầu có đường kính 4cm. Giả sử chỉ có một vị trí trên trái đất có thể ngắm được hiện tượng nhật thực toàn phần. Xác định vị trí đó biết trong mô phỏng khoảng cách từ mặt trời tới mặt trăng là 80cm

Trả lời:

Trong mô phỏng này, Mặt trăng và Mặt trời là hai hình đồng dạng phối cảnh với tâm đồng dạng phối cảnh chính là vị trí được giả sử. Ta có :

Lại có AO – AO’= 80

Vậy Vị trí đó là vị trí nằm trên bền mặt trái đất và cách mặt trăng 20cm .

Bài 20: Cho một hình chữ nhật có chiều dài: 10cm chiều rộng 4cm. Cho O là một điểm phân biệt. Xác định chu vi hình chữ nhật ABCD sao cho hình chữ nhật ABCD đồng dạng phối cảnh cới hình chữ nhật đã cho, với O là tâm đồng dạng phối cảnh và tỉ số tự vị k = 3

Trả lời:

Gọi hình chữ nhật đã cho là hình chữ nhật MNPQ (MN > NP)

Vì hình chữ nhật ABCD sao cho hình chữ nhật ABCD đồng dạng phối cảnh cới hình chữ nhật đã cho, với O là tâm đồng dạng phối cảnh và tỉ số tự vị k = 2, ta có:

Hay  

Vậy hình chữ nhật ABCD có chu vi là: