ÔN TẬP CHƯƠNG VII: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC NHẤT (PHẦN 3)

Bài 1: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ.  Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp.

Trả lời:

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là   (km/h) (x>0)

Vận tốc người đi xe máy là:  km/h

Thời gian người đi xe đạp đi là: h

Thời gian người đi xe máy đi là: h

Do xe máy đi sau 1h30' và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình   

Giải phương trình ta được  (tmđk)

Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h.

Bài 2: Hàm số  (m là tham số) nghịch biến trên  khi nào?

Trả lời:

Hàm số  có hệ số góc .

Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi .

Bài 3: Cho hàm số y =

1. a) Tính giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau: 0; - 2; ; .
2. b) Tính giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau: 0; 1; 8;  

Trả lời:

1. a) +) x = 0    y =   = 1

+)   x = - 2    y =    =  =  

+)   x =   y =   =   = 12 - 6

 +)  x =  y =   =  = 9 - 2 +1 = 8

1. b) Khi +) y = 0   = 0   

=

+)  y = 1  

+)  y = 8  

+)  y =

Bài 4: Cho hai đường thẳng ; cắt nhau tại . Tìm để đường thẳng  đi qua điểm  ?

Trả lời:

Tọa độ  là nghiệm của hệ  

Do  đi qua điểm  nên .

Vậy  là giá trị cần tìm.

Bài 5: Vẽ đồ thị các hàm số  y = 3x – 6

Trả lời:

Xét hàm số y = 3x – 6.

+ Với x = 0 ⇒ y = -6

+ Với y = 0 ⇒ x = 2.

Vậy đồ thị hàm số y = 3x – 6 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; -6);  B(2; 0)

Hệ số góc k = 3

Bài 6: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?

Trả lời:

Gọi số dãy ghế lúc đầu là x ( dãy), x nguyên dương.

dãy ghế sau khi thêm là:  (dãy).

Số ghế của một dãy lúc đầu là:  (ghế).

Số ghế của một dãy sau khi thêm là:  (ghế).

Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình: 

Giải phương trình ta được  (thỏa mãn đk)

Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế.  

Bài 7: Cho hàm số y = (a − 1)x + a.

1. a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(−1; 1) với mọi giá trị của a.
2. b) Xác định a để đường thẳng đi qua gốc toạ độ.

Trả lời:

1. a) Hàm số y = (a − 1)x + a ⇔ y + x − (x + 1)a = 0 (*)

Phương trình (*) luôn luôn đúng khi và chỉ khi

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(-1; 1) với mọi giá trị của a

1. b) Xác định a để đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0) khi và chỉ khi 0 = (a − 1).0 + a ⇔ a = 0.

Vậy a = 0 thì đường thẳng đi qua gốc toạ độ.

Bài 8: Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện.

Trả lời:

Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là:  (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là:  (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:

                         (cuốn) 

Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được:  (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là:  cuốn.

Bài 9: Giải phương trình

Trả lời:

Tập nghiệm

Bài 10: Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm  A đến địa điểm B dài 240 km. Mỗi giờ Ô tô thứ nhất chạy chanh hơn Ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc  của mỗi Ô tô.

Trả lời:

Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x (km/h), (x> 0).

Ta có vận tốc của Ô tô thứ nhất là x + 12 km/h.

Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là  ( h).

Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là  ( h).

Vì Ô tô thứ nhất đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút do đó ta có phương trình   –  =

Giải PTBH ta được x = 36          

Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất 48 km/h, Ô tô thứ hai là 36 km/h.

Bài 11: Cho các hàm số sau

.

Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên ?

Trả lời:

Hàm số  có hệ số góc  nên đồng biến trên .

Hàm số  có hệ số góc  nên nghịch biến trên .

Hàm số  có hệ số góc  nên nghịch biến trên .

Hàm số  có hệ số góc  nên đồng biến trên .

Hàm số  có hệ số góc  nên nghịch biến trên .

Vậy có tất cả 2 hàm số đồng biến trên .

Bài 12:

1. Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 (1);
2. Gọi A, B là giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục tung và trục hoành. Tính diện tích tam giác OAB.

Trả lời:

1. Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 (1);

Đồ thị đi qua A (0; 2) và

2. Gọi A, B là giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục tung và trục hoành. Tính diện tích tam giác OAB.

Ta có:  (đvdt)

Bài 13: Cho hàm số

.

Xét các khẳng định sau

(I)  

(II)  

(III)  

(IV)

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

Trả lời:

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ đó suy ra:

,  và , còn giá trị lớn nhất của hàm số trên  thì không tồn tại.

Vậy có 3 khẳng định đúng.

Bài 14: Giải các phương trình sau:

1. a)
2. b)

Trả lời:

1. a)

. Tập nghiệm

1. b)

.

Tập nghiệm

Bài 15: Cho hàm số  (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d).

1. a) Tìm m để (d) đi qua điểm A( 1;2)
2. b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình:
3. c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.

Trả lời:

1. a) Ta có (d) đi qua A(-1; 2) ⇔

⇔

1. b) Ta có:

(d)// ⇔  ⇔ m = 2

1. c) Giả sử định của đường thẳng (d).

Khi đó:

⇔   ⇔

Bài 16: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175 km để gặp nhau. Xe 1 đi sớm hơn xe 2 là 1giờ 30 phút với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

Trả lời:

Gọi thời gian đi của xe 2 là x (giờ) (x > 0)

Thời gian đi của xe 1 là  (giờ)

Quãng đường xe 2 đi là:  km

Quãng đường xe 1 đi là:  km

Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:  

Giải phương trình ta được x = 2 (tmđk)

Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1.

Bài 17: Cho hàm số  (a, b là các tham số, x là số thực). Chứng minh rằng : Hàm số  đồng biến khi và chỉ khi  ; hàm số  nghịch biến khi và chỉ khi  .

Trả lời:

Với mọi  phân biệt thuộc  ta có:  .

Hàm số đã cho đồng biến  .

Hàm số đã cho nghịch biến  .

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài 18: Chứng minh rằng hàm số  nghịch biến khi

Trả lời:

Đặt

Với mọi  và . Xét hiệu:

Do  và  nên ta có  và  và  .

Từ đó dẫn đến  hay .

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến khi

Bài 19: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian. Đội 1 phải trồng 40 ha , đội 2 phải trồng 90 ha. Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch. Đội 2 hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch. Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng được của hai đội bằng nhau. Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?

Trả lời:

Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x (ngày ), x > 0

Thời gian đội 1 đã làm là x – 2 (ngà )

Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 (ngày)

Mỗi ngày đội 1 trồng được  (ha)

Mỗi ngày đội 2 trồng được  (ha)

Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng được (x + 2) (ha)

Nếu đội 2 làm trong x – 2 ngày thì trồng được (x – 2) (ha)

Theo đầu bài diện tích rừng trồng dược của hai đội trong trường này là bằng nhau nên ta có pt

                              (x + 2) = (x – 2)

                  Hay       5x² – 52x + 20 = 0

                             ^/ = 26² – 5.20 = 576  , ^/ = 24

x₁ = = 10   ; x₂ =

Do x₂ < 2 , không thoả mãn đk của ẩn

Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày

Bài 20: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1giờ 40 phút. Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?

Trả lời:

Đây là dạng toán chuyển động  quãng đường của chuyển động, có thay đổi vận tốc và đến sớm, có nghỉ. Bài yêu cầu tính quãng đường AB thì gọi ngay quãng đường AB là x km  Chuyển động của người đi xê đạp sảy ra mấy trường hợp sau

+ Lúc đầu đi  quãng đường bằng xe đạp.

+ Sau đó xe đạp hỏng, chờ ô tô (đây là thời gian nghỉ)

+ Tiếp đó người đó lại đi ô tô ở  quãng đường sau.

+ Vì thế đến sớm hơn so với dự định.

- Công thức lập phương trình: t_{dự định} = t_đi + t_nghỉ + t_{đến sớm}

- Phương trình là 

Đáp số:  km.