Giáo án điện tử Toán 11 cánh diều Chương 2 Bài 3: Cấp số nhân

THÂN MẾN CHÀO CÁC EM HỌC SINH ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI

KHỞI ĐỘNG

Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)

Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli.

Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?

Gợi ý:

+ Số lượng vi khuẩn lúc đầu là 100 (vi khuẩn).

+ Thời gian nhân đôi lần đầu là 1.20 = 20 phút.

• Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên: 100.2 = 200 (vi khuẩn).

+ Thời gian nhân đôi lần thứ hai là 2.20 = 40 phút.

• Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi lần hai: (vi khuẩn)

    + Từ đó ta tính được số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n trong n.20 (phút)

Kết quả

Số lượng vi khuẩn lúc đầu 100 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên (sau 20 = 1.20 phút) là:

 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ hai (sau 40 = 2.20 phút) là:

 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ ba (sau 60 = 3.20 phút) là:

 (vi khuẩn).

Tổng quát: Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n (sau n. 20 phút) là:

 (vi khuẩn).

Vì vậy số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ thứ 9 (sau 180 = 9.20 phút) là:

 (vi khuẩn).

BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN

NỘI DUNG BÀI HỌC

Định nghĩa

Số hạng tổng quát

Tổng  số hạng đầu của một cấp số nhân

1. ĐỊNH NGHĨA

HĐ 1.

Cho dãy số

Kế từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó

Giải

Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó  lần.

Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó  lần.

Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó  lần

Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó  lần.

Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó  lần.

Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó  lần

Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó  lần

Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó  lần.

Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó  lần.

Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.

KẾT LUẬN

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi , tức là:

 với

Số  được gọi là công bội của cấp số nhân.

Lưu ý

Nếu  là cấp số nhân với công bội q và  với mọi  thì với số tự nhiên , ta có:

Chú ý

Khí  thì cấp số nhân là một dãy không đổi.

Ví dụ 1: SGK – tr.53

                                   Cho cấp số nhân  với , công bội . Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó

Giải

Năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

                        Cho cấp số nhân () với .

1. a) Tìm công bội q.
2. b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Giải

1. a) là cấp số nhân có công bội:
2. b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

 ;   .

Ví dụ 2: SGK – tr.53

Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

1. a) b)

Giải

Xét các thương của số hạng (kể từ số hạng thứ hai trở đi) với số hạng ngay trước nó, ta thấy:

1. a) . Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội
2. b) . Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân

                        Cho dãy số (u_n) với u_n = 3.2ⁿ (n ≥ 1). Dãy (u_n) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Giải

Ta có:

• với

Vì vậy dãy  là cấp số nhân có số hạng đầu  và công bội .

1. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

           Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁, công bội q.

1. a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo u₁và q.
2. b) Dự đoán công thức tính u_ntheo u₁và q.

Giải

1. a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

1. b) Dự đoán công thức tính theo và q là: .

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Nếu cấp số nhân  có số hạng đầu  và công bội q thì số hạng tổng quát  được xác định bởi công thức:

 với

Ví dụ 3: SGK – tr.54