Giáo án và PPT Toán 11 cánh diều Bài 3: Cấp số nhân

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. (Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010). Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli. Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Định nghĩa

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ1.
• Nêu định nghĩa cấp số nhân.
• Rút ra công thức tính q từ cấp số nhân.
• Hãy nhận xét về cấp số nhân có công bội q = 1?
• Hoàn thành luyện tập 1 và luyện tập 2.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1

Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó lần.

Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó lần.

Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó lần.

Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó lần.

Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó lần.

Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó lần.

Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là:

với

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu là cấp số nhân với công bội q và với mọi thì với số tự nhiên , ta có:

Chú ý:

Khí thì cấp số nhân là một dãy không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53).

Luyện tập 1

a) là cấp số nhân có công bội: 

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

.

Ví dụ 2: (SGK – tr.53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54).

Luyện tập 2

Ta có: => với

Vì vậy dãy là cấp số nhân có số hạng đầu và công bội .

Hoạt động 2: Số hạng tổng quát 

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ2.
• Nêu công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.
• Hoàn thành luyện tập 3.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ2.

a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

b) Dự đoán công thức tính theo và q là: .

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức:

với

Ví dụ 7: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn Giải (SGK – tr.54).

Ví dụ 4: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54, 55).

Luyện tập 3

Số tiền ban đầu T₁ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

(Triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

(Triệu đồng)

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

(Triệu đồng). 

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội có số hạng tổng quát là:

(Triệu đồng)

Hoạt động 3: Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ3.
• Trình bày công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
• Hoàn thành luyện tập 4.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ3

a) Ta có: 

b) Ta có:

Vậy công thức tính .

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội .

Đặt . Khi đó:

Chú ý

Nếu thì

Ví dụ 5: (SGK – tr.55).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55).

Luyện tập 4

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với và công bội

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

b) Ta có: là một cấp số nhân với và công bội .

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

Ví dụ 6: (SGK – tr.55).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55, 56).

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân

B. Số hạng tổng quát u_n= 1n =1

C. Dãy số này là cấp số nhân có u₁ = –1, q = –1

D. Số hạng tổng quát u_n = (–1)2n.

Câu 2: Cho cấp số nhân (un) với u1=−12;u7=−32. Tìm q?

A. q = ±1/2

B. q = ±2

C. q = ±4

D. q = ±1

Câu 3: Xác định x để 3 số x−2; x+1; 3−x lập thành một cấp số nhân:

A. Không có giá trị nào của x 

B. x = ±1.

C. x = 2.

D. x = −3.

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: C

Câu 2: B

Câu 3: A

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 2: Cho cấp số nhân u_n với u₁ = 3, q = -1/2. Số 192 là số hạng thứ mấy của u_n?