Đáp án Toán 11 cánh diều Chương 4 bài 4: Hai mặt phẳng song song

BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

LT-VD 1 trang 105 sgk toán 11 cánh diều

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Đáp án:

Hình ảnh hai mặt phẳng song song

Các mặt sàn của ngôi nhà nhiều tầng; các mặt bậc cầu thang; mặt bàn và nền nhà; …

1. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT

LT-VD 2 trang 106 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB, AM, AN, AP. Chứng minh rằng (IJK) ∥ (BCD). 

Đáp án:

+) Xét AMP có I, K lần lượt là trung điểm của AM, AP nên IK là đường trung bình

Do đó IK // MP.

Mà MP ⊂ (BCD) nên IK // (BCD).

+) Xét ∆ANP có J, K lần lượt là trung điểm của AN, AP nên JK là đường trung bình

Do đó JK // NP.

Mà NP⊂(BCD) nên JK // (BCD).

+) Ta có: IK // (BCD); JK // (BCD);

           IK∩JK=K; IK,JK⊂((IJK)

Suy ra (IJK) // (BCD).

LT-VD 3 trang 108 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A', B'. Chứng minh rằng AB = A'B'. 

Đáp án:

Giả sử (R) = (a, b).

Ta có: A,A' ∈ (R) và A.A' ∈ (P) 

Do đó (R) ∩ (P) = AA’.

Tương tự ta cũng có (R) ∩ (Q) = BB’.

Do (P) // (Q); (R) ∩ (P) = AA’; (R) ∩ (Q) = BB’

Suy ra AA’ // BB’

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có: AA’ // BB’ và AB // A’B’ (do a // b)

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

Do đó AB = A’B’.

III. ĐỊNH LÍ THALÈS

LT-VD 4 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Bạn Minh cho rằng: Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì... Phát biểu của bạn Minh có đúng không? Vì sao?

Đáp án:

Theo định lí Thalès, nếu a,b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P),(Q),(R) lần lượt tại các điểm A,B,C và A',B',C' thì ABA'B'=BCB'C'=CAC'A'.
Do đó ABA'B'=ACA'C'.
Theo bài, bạn Minh phát biểu rằng ABBC=ACA'C'
Mà do BCA'B' nên phát biểu của bạn Minh là sai.

BT 1 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao? 

Đáp án:

Phát biểu của bạn Chung không đúng, để (P) // (Q) thì hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) cần thêm điều kiện cắt nhau tại một điểm.

Ví dụ: a//(Q), b//(Q), nhưng (P) cắt (Q) (hình vẽ)

 BT 2 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A', B', C', D'. Chứng minh rằng A'B'C'D' là hình bình hành.

Đáp án:

+) Ta có: AB//CD (do ABCD là hình bình hành).
Mà CD⊂mpCDD'C' nên AB//CDD'C'.
+) Ta có: a // d nên A'A // D'D
Mà D'D⊂mpCDD'C' nên A'A//CDD'C'.
+) Ta có: AB//CDD'C'; A'A//CDD'C';
AB,A'A cắt nhau tại A và cùng nằm trong ABB'A'
⟹(ABB'A') // (CDD'C').

+) Ta có: ABB'A'//CDD'C'
ABB'A'∩(Q)=A'B';CDD'C'∩(Q)=C'D'

Do đó A'B'//C'D'.
Chứng minh tương tự: A'D'//B'C'.
+) Tứ giác A'B'C'D' có A'B'//C'D' và A'D'//B'C' nên A'B'C'D là hình bình hành.

BT 3 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Lấy G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. 

1. a) Chứng minh rằng (G1G2G3)∥(BCD).
2. b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G1G2G3) với mặt phẳng (ABD). 

Đáp án: 

1. a) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CD,BD.

Ta có: MAG1 và AG1AM=23;NAG2

và AG2AN=23.

Do đó AG1AM=AG2AN, suy ra G1G2//MN.

Mà MN⊂(BCD) nên G1G2//(BCD)(1).

Chứng minh tương tự ta có G2G3//NP. Mà NP⊂(BCD) nên G1G2//(BCD) (2). Từ (1) và (2) suy ra G1G2G3//(BCD).

1. b) Do G1G2G3//(BCD),(ABD)∩(BCD)=BD,G3 là một điểm chung của hai mặt phẳng G1G2G3 và (ABD) nên theo Định lí 3 ta có: G1G2G3∩(ABD) tại một đường thẳng d đi qua G3 và song song với BD.

BT 4 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. 

1. a) Chứng minh rằng (AFD) ∥ (BEC). 
2. b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính AN/NC. 

Đáp án:

1. a) Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC. Mà AD không thuộc mặt phẳng (BEC) suy ra AD//(BEC). Tương tự, do ABEF là hình bình hành nên AF//BE, suy ra AF//(BEC). Mà AD, AF cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (ADF) nên theo Định lí 1 , ta có: (AFD)//(BEC).
2. b) Gọi I là giao điểm của AE và BF, khi đó I là trung điểm đoạn AE mà M là trọng tâm của tam giác ABE nên MBI và BM=23BI=13BF, hay FM=2MB. 

Ta có đường thẳng FB cắt ba mặt phẳng song song (ADF),(P),(BCE) lần lượt tại F,M,B. Đường thẳng AC cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự A,N,C. 

Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có: ANFM=NCMBANNC=FMMB=2. 

Vậy ANNC=2