Đáp án Toán 11 kết nối tri thức Bài 6: Cấp số cộng

BÀI 6. CẤP SỐ CỘNG

1. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Nhận biết cấp số cộng...

Đáp án:

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là: .
2. b) Nhận thấy trong dãy số (u_n), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng  theo số hạng u_{n – 1} là  là

Bài 2: Dãy số không đổi...

Đáp án:

Dãy số không đổi là một cấp số cộng với công sai .

=> Đây là một dãy số hằng.

Bài 3: Cho dãy số...

Đáp án:

Ta có:

Do đó,  với mọi

Vậy dãy số (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu là  và công sai

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Bài 1: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng...

Đáp án:

1. a) Ta có:

.

b)Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát  theo  và  là:

Bài 2: Cho dãy số...

Đáp án:

Ta có:  

, với mọi .

Do đó, dãy số  là một cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai  Số hạng tổng quát là:

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng...

Đáp án:

1. a) Ta có:

1. b)

1. c) Ta có:

Bài 2: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công...

Đáp án:

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = 20.

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này là

Vậy số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc ở công ty này là 1 900 triệu đồng hay 1 tỷ 900 triệu đồng.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.8: Xác định công sai, số hạng thứ 5...

Đáp án:

1. a) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là .

Số hạng đầu của cấp số cộng là

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là .

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

 hay .

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là .

1. b) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là .

Số hạng đầu của cấp số cộng là

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

 hay

.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là .

Bài tập 2.9: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số...

Đáp án:

1. a) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

+) Ta có: , với mọi .

Do đó dãy số  là một cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai .

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là

1. b) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

+) Ta có: , với mọi .

Do đó dãy số  là một cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai .

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là .

1. c) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

Ta có: , do  luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số  thay đổi.

Vậy dãy số  không phải là cấp số cộng.

1. d) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

Ta có: , với mọi .

Do đó dãy số  là một cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai .

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là .

Bài tập 2.10: Một cấp số cộng có số hạng thứ...

Đáp án:

Ta biểu diễn số hạng thứ 5 và số hạng thứ 12 theo số hạng thứ nhất u₁ và công sai d. Ta có:  hay .

 hay .

Khi đó ta có hệ phương trình:

Số hạng thứ 50 của cấp số cộng là

Bài tập 2.11: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng...

Đáp án:

Cấp số cộng có  và . Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 2 700. Khi đó ta có:  

Do đó,  

Vậy tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2 700.

Bài tập 2.12: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng...

Đáp án:

Giá của chiếc xe ô tô sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là  và công sai  (do giá xe giảm).

Do đó, giá của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

 (triệu đồng).

Bài tập 2.13: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường...

Đáp án:

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 3. Giả sử cần thiết kế tối thiểu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi. Ta có: 

Do đó,

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 2.14: Vào năm 2020, dân số...

Đáp án:

Ta có: 1,2 triệu người bằng 1 200 nghìn người.

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng  với số hạng đầu  và công sai  Ta có: .

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.