Đáp án Toán 8 cánh diều Chương 5 Bài 7: Hình vuông

BÀI 7. HÌNH VUÔNG (2 tiết)

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 116 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biết các góc và các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 65 có đặc điểm gì.

Đáp án:

Trong tứ giác  có:

II. Tính chất

Hoạt động 2 trang 117 sgk Toán 8 tập 1 CD:

1. a) Mỗi hình vuông có là một hình chữ nhật hay không?
2. b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi hay không?

Đáp án:

1. a) Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật, vì có 4 góc vuông.
2. b) Mỗi hình vuông là một hình thoi, vì có 4 cạnh bằng nhau.

Luyện tập 1 trang 117 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình vuông ABCD. Tính số đo các góc CAB, DAC.

Đáp án:

Do  là hình vuông  và  là tia phân giác của

=>

III. Dấu hiệu nhận biết

Hoạt động 3 trang 118 sgk Toán 8 tập 1 CD:

1. a) Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình vuông hay không?
2. b) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 69).

• Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?
• ABCD có phải là hình vuông hay không?

1. c) Cho hình chữ nhật ABCD có AC là tia phân giác của góc DAB.

• Tam giác ABC có phải là tam giác vuông cân hay không?
• ABCD có phải là hình vuông hay không?

Đáp án:

1. a) Do là hình chữ nhật nên:

 và .

Mà  =>

Tứ giác  có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông.

b)

+) Vì  là hình chữ nhật => Hai đường chéo  cắt nhau tại trung điểm  mỗi đường.

Mà  =>  là trung trực của BD

+) Do  là hình chữ nhật =>  và

Mà  là trung trực của

=>

=>

Tứ giác  có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông

1. c)

+)  là hình chữ nhật =>  và  =>  (so le trong).

Có  là tia phân giác của  =>

=> .

 vuông tại  có  

=>  vuông cân tại .

+) Do  vuông cân tại  nên

Theo kết quả câu a, hình chữ nhật  có hai cạnh kề và  bằng nhau nên là hình vuông.

Luyện tập 2 trang 118 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE =EC. Qua D và E kẻ đường thắng vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC lân lượt tại H và G. Chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông.

Đáp án:

+)  vuông cân tại  =>

Xét  vuông tại :

=>

=>  vuông cân tại  =>

Tương tự có  vuông cân tại  nên

=>

Theo đề bài  suy ra

+) Xét tứ giác  có  và .

Do đó  là hình bình hành, mà  nên là hình chữ nhật.

Lại có hai cạnh kề  nên  là hình vuông.

IV. Bài tập

Bài 1 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có AC = BD. Chứng minh ABCD là hình vuông.

Đáp án:

Do  là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

 là hình bình hành có hai đường chéo  bằng nhau nên là hình chữ nhật.

Mà  => Hình chữ nhật  là hình vuông.

Bài 2 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có . Chứng minh ABCD là hình vuông.

Đáp án:

Do  là hình thoi nên cũng là hình hình bình hành.

Lại có  =>  là hình chữ nhật.

Mà  (do  là hình thoi) =>  là hình vuông.

Bài 3 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh tứ giác AHDK là hình vuông.

Đáp án:

Do  lần lượt là hình chiếu của  trên  nên ;

Hay

Tứ giác  có :  =>  là hình chữ nhật.

Mà  là phân giác  nên  là hình vuông.

Bài 4 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai mảnh giấy, mỗi mảnh có đạng hình vuông với độ dài cạnh là 1 dm. Hãy trình bày cách cắt phép hai mảnh giấy đó để được một hình vuông có độ dài cạnh là √2 dm.

Đáp án:

- Gấp và cắt hai mảnh giấy hình vuông thành 4 mảnh tam giác vuông (hình vẽ).

- Ghép 4 mảnh tam giác vuông, với cạnh huyền tam giác là cạnh của hình vuông mới (hình vẽ).

Bài 5 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD:  Bạn Thảo có một mảnh giấy có dạng hình tròn. Bạn Thảo đố bạn Minh: Không dùng thước thẳng và compa, làm thế nào có thể xác định tâm của hình tròn và chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình vuông? Bạn Minh đã làm như sau:

Bước 1. Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Tiếp tục gấp mảnh giấy (có dạng nửa hình tròn) ở Bước 1 sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau. Trải miếng bìa về dạng hình tròn ban đầu, ta được nét gấp mới là một đường kính khác của hình tròn.

Bước 3. Ta đánh dấu giao điểm của hai đường kính là O và hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó O là tâm của hình tròn và tứ giác ABCD là hình vuông (Hình 7).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Minh.

Đáp án:

Do bạn Minh đã gấp mảnh giấy (có dạng nửa hình tròn) sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau nên hai đường kính  và  vuông góc với nhau tại  và

Do đó  tại trung điểm  của mỗi đường.

Khi đó tứ giác  là hình thoi.

Mặt khác, hai đường chéo và  của hình thoi  bằng nhau (do cùng là đường kính của hình tròn) nên  là hình vuông có tâm là .