Đáp án Toán 8 cánh diều Chương 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

BÀI 3. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

I. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Quan sát tam giác ABC ở Hình 29 và cho biết hai đầu mút D, E của đoạn thẳng DE có đặc điểm gì. 

Đáp án:

Đầu mút D là trung điểm của đoạn thẳng AB, đầu mút E là trung điểm của đoạn thẳng AC. 

Bài 2: Vẽ tam giác ABC và các đường trung bình của tam giác đó.

Đáp án: 

Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

Do đó: MN, MH, NH là đường trung bình của tam giác ABC.

II. TÍNH CHẤT

Bài 1: Cho tam giác ABC có MN là đường trung bình (Hình 31).

1. a) MN có song song với BC hay không? Vì sao?
2. b) Tỉ số bằng bao nhiêu?

Đáp án:

1. a) Áp dụng định lý Thales đảo vào ta có:

 nên

1. b) Theo hệ quả của định lý Thales ta có:

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

1. a) M, N, P thẳng hàng.
2. b) MN= (AB+CD).

Đáp án:

1. a) + Xét , ta có: là đường trung bình của .

=>  và  

+ Xét , ta có:  là đường trung bình của .

=>  và  (2)

Mà AB // CD nên theo Tiên đề Ơclit ta có M, N, P  thẳng hàng.

1. b) Từ (1) và (2) suy ra

MN = MP + PN   (AB + CD)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, điểm N thuộc cạnh AC thỏa mãn MN // BC. Chứng minh NA = NC và MN = BC.

Đáp án:

Do  nên theo định lý Thales ta có:  

=>  là trung điểm của  hay

Theo định lý Thales ta có:   =>

Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP = PN = NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:

1. a) MN // CP b) AQ = QM c) CP = 4PQ.

Đáp án: 

1. a) Ta có => là trung điểm của

Mà  là đường trung tuyến =>  là trung điểm của

=>  là đường trung bình của  => .

1. b) Theo câu a) ta có =>

Mà  là trung điểm của  nên suy ra  là trung điểm của  hay .

1. c) Ta có MN là đường trung bình của => .

 là đường trung bình của  =>  =>

Bài 3:  Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. 

1. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
2. b) Cho AC = BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
3. c) Cho AC ⊥ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án:

1. a) Xét có lần lượt là trung điểm của  và

=>  là đường trung bình của .

=>  và  (1)

Xét  có lần lượt là trung điểm của  và .

=>  là đường trung bình của .

=>  và  (2)

Từ (1) và (2) => MN // PQ và MN = QP

=>  là hình bình hành.

1. b) Do MQPN nên MQ = NP

Xét  có lần lượt là trung điểm của  và .

=>  là đường trung bình của .

=>  và .

Mà nên . Suy ra  là hình thoi.

1. c) Ta có => . Do đó tứ giác là hình chữ nhật.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án:

Tam giác ABH có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH.

Suy ra: MN là đường trung bình nên MN // AH và MN =  AH (1)

Tam giác ACH có: P, Q lần lượt là trung điểm của CH, AC.

Suy ra: PQ là đường trung bình nên PQ // AH và PQ =  AH (2)

Từ (1)(2) suy ra: MN // PQ và MN = PQ. 

Do đó: MNPQ là hình bình hành (3)

Ta có: MN // AH 

Mà AH ⊥ BC (H là trực tâm tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ BC

Mà MQ // BC (MQ là đường trung bình của tam giác ABC)

Do đó: MN ⊥ MQ (4)

Từ (3)(4) suy ra: MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 5: Trong Hình 36, ba cạnh màu vàng AB, BC, CA gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng màu xanh MN là một đường trung bình của tam giác đó. Bạn Duyên đứng ở phía dưới đo khoảng cách giữa hai chân cột số 1 và số 2, từ đó ước lượng được độ dài đoạn thẳng MN khoảng 4,5 m. Khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Hỏi khoảng cách đó khoảng bao nhiêu mét?

Đáp án:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN =  BC hay BC = 2MN

Mà khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC

Suy ra: Khoảng cách đó bằng 2.MN = 2.4,5 = 9 m.