Đáp án Toán 8 cánh diều Chương 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

BÀI 4. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài 1: Hính 37 minh họa một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức .

Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức  ?

Đáp án:

+ Vì  là hình vuông nên  là tia phân giác của  =>  là đường phân giác trong .

+ Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có :   (đpcm).

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là đường phân giác.

Chứng minh DB < DC. 

Đáp án:

Xét  có  là đường phân giác=>

Mà  =>  =>  => .

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF.

 Chứng minh  = 1

Đáp án: 

Xét  có  là các đường phân giác nên  ;  ;

Ta có:  (đpcm)

Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho . Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC. 

Đáp án:

Lấy  thuộc  sao cho

Theo hệ quả định lí Thalès, có:

Mà  nên  =>

Khi đó  cân tại  =>

Mà  nên  =>

Vậy  là phân giác của góc .

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Đáp án:

Xét  có  là đường phân giác nên  ;  ;

+)  

+)

Từ    Suy ra 

Vậy

+)

Từ   Suy ra 

Vậy

Bài 2:  Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh 

Đáp án: 

 có  là đường phân giác nên

 là trung điểm của  ( là đường trung tuyến) nên

=>  (1)

 có  là phân giác nên  (2)

Từ (1)(2) suy ra :

Bài 3: Quan sát Hình 43 và chứng minh  =

Đáp án:

Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên

Tam giác ABG có AE là đường phân giác nên  =

 :  =  

Bài 4: Cho hình thoi ABCD (Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN. 

Đáp án:

Gọi

Vì  là hình thoi nên  tại

 cân tại  có  là đường cao nên  cũng là đường phân giác

 có  là đường phân giác  =>  (1)

Ta có :  mà  =>  (2)

Từ (1)(2) suy ra  hay  

Do đó

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính: 

1. a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;
2. b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;
3. c) Độ dài đường phân giác AD. 

Đáp án: 

1. a) + Áp dụng định lí Pythagore trong : BC = 5 cm

    + Áp dụng tính chất đường phân giác  trong  , ta có :

    + DC = BC – DB

             hay  => DB =  ; DC =

1. b) Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ đến  

Nên khoảng cách từ  đến  là

Ta có  (quan hệ từ song song đến vuông góc)

Suy ra:   =>   =>  

Vậy khoảng cách từ  đến  là  

1. c) Xét có nên  (định lí Thalès) =>  =>

 vuông tại  nên ta có :

Bài 6: Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45). Chứng minh AD.BC = AC.BD. 

Đáp án:

Tam giác ACD có AE là đường phân giác của góc CAD =>

Tam giác BCD có BE là đường phân giác của góc CBD =>

=>   hay  (đpcm)