Giáo án chuyên đề Toán 12 kết nối Bài 2: Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS suy nghĩ thực hiện HĐ1.

- GV giới thiệu về phép thử lặp và công thức Bernoulli.

- HS đọc hiểu, thảo luận Ví dụ 1. GV hướng dẫn.

+ Xác định đâu là phép thử lặp?

+ Phát biểu biến cố “Thí nghiệm T thành công”, tính xác suất của biến cố đó.

+ a) Xét biến cố Để tính được câu a, cần tính xác suất với k bằng bao nhiêu?

+ Để tính xác suất câu b và c có thể sử dụng biến cố đối.

- HS thực hiện Luyện tập 1.

+ Xác định phép lặp, biến cố là biến cố: "An thắng đúng ván".

+ Những trường hợp nào thì An thắng trận đấu?

- HS đọc, trình bày Ví dụ 2.

Người chơi thắng trong trường hợp nào? Tính xác suất như thế nào?

- HS thực hiện Luyện tập 2, thực hiện tương tự như ví dụ 2. Sau đó so sánh xác suất khi chơi theo 2 phương án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Phép thử lặp và công thức Bernoulli

HĐ 1:

a) Phép thử T được lặp lại 12 lần. Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất hai lần.

b) Phép thử T được lặp lại 6 lần. Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất một lần.

Kết luận

Xét phép thử và là một biến cố liên quan tới phép thử . Ở mỗi lần thực hiện phép thử biến cố E có xác suất xuất hiện bằng , tức là

Ta thực hiện phép thử lặp lại n lần một cách độc lập, tức là các lần lặp này không ảnh hưởng lẫn nhau.

Phép thử thực hiện lặp lại nhiều lần một cách độc lập gọi là phép thử lặp.

Kí hiệu là biến cố: "Trong phép thử lặp này, biến cố xuất hiện đúng lần ". Khi đó 

Công thức trên được gọi là công thức Bernoulli.

Ví dụ 1 (SGK -tr.16)

Luyện tập 1

Gọi là biến cố: "An thắng trong một ván đấu'

Ta có .

Gọi là biến cố: “An thắng đúng ván”.

Gọi là biến cố: “An thắng trong trận đấu”.

Khi đó là biến cố: “An thắng ít nhất 2 ván”. 

.

Ví dụ 2 (SGK -tr.16)

Luyện tập 2 (SGK -tr.17)

a) Gọi là phép thử: "Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất". 

E là biến cố: "Xuất hiện mặt 6 chấm".

Xét phép thử lặp với và .

Gọi là biến cố: "Người chơi thắng". Khi đó là biến cố: "Trong phép thử lặp này biến cố xuất hiện ít nhất một lần".

Xét biến cố đối : "Trong phép thử lặp này biến cố E không xuất hiện lần nào".

Ta có . Theo công thức Bernoulli:

.

Vây

Vậy xác suất thắng của người chơi khi chơi theo phương án 2 là 0,665102 ...

b) Theo Ví dụ 2, xác suất thắng của người chơi khi chơi theo phương án 1 là  

Vậy người chơi nên chọn phương án 2.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV giới thiệu dẫn dắt tình huống xuất hiện biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. 

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 2.

gợi ý: sử dụng công thức Bernoulli.

- GV giới thiệu về biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức, biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli.

- HS trả lời Câu hỏi. Sử dụng biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli.

- GV dẫn dắt cho HS nhận xét một dấu hiệu nhận biết biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

- GV nêu câu hỏi:

Tính ? 

Từ đó có chú ý về công thức tính.

- HS thực hiện Ví dụ 3, áp dụng phân bố nhị thức về và chú ý về phân bố nhị thức.

- HS thực hiện Luyện tập 3.

là biến ngẫu nhiên: "Con xúc xắc có số chấm xuất hiện lớn hơn 4 ".

+ a) X có phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức? 

+ Áp dụng công thức hãy tính

- GV chú ý về kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của

- HS thảo luận tìm hiểu Ví dụ 4, trình bày lại.

……………….

2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Bài toán:

Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, mỗi câu trả lời sai không được điểm (0 điểm). Thí sinh vượt qua bài thi đó nếu đạt ít nhất 5 điểm. Bạn An làm hết 10 câu trong bài thi bằng cách mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Hỏi:

a) Trung bình An được bao nhiêu điểm?

b) Xác suất để An vượt qua bài thì đó là bao nhiêu?

HĐ 2:

Biến cố là biến cố: "Trong lần thực hiện lặp lại phép thử ”,

biến cố “Xuất hiện đúng lần”.

Vậy là xác suất để trong lần thực hiện lặp lại phép thử , biến cố xuất hiện đúng lần. 

Vậy theo công thức Bernoulli ta có

.

Kết luận

Biến ngẫu nhiên rời rạc với tập các giá trị có thể là và có bảng phân bố xác suất như sau:

Biến ngẫu nhiên như trên được gọi là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số kí hiệu là

Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số được gọi là biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli, kí hiệu là

Câu hỏi

Bảng phân bố của biến ngẫu nhiên

Nhận xét

Cho T là một phép thử và E là một biến cố liên quan tới phép thử T. Ta thực hiện phép thử T lặp lại n lần một cách độc lập. Ở mỗi lần thực hiện phép thử T, biến cố E có xác suất xuất hiện bằng p, P(E) = p. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố E trong n lần thực hiện lặp lại phép thử T. Khi đó

Chú ý về phân bố nhị thức

Cho X là biến ngẫu nhiên với Khi đó, với mỗi số nguyên dương ta có: 

Ví dụ 3 (SGK -tr.18)

Luyện tập 3

Người chơi được ít nhất 30 điểm khi con xúc xác có ít nhất 3 lần mà số chấm xuất hiện lớn hơn 4. 

Phép thử là gieo con xúc xắc, là biến cố: "Con xúc xắc có số chấm xuất hiện lớn hơn 4 ". Ta có . T được lặp lại 5 lần một cách độc lập. là biến ngẫu nhiên: "Con xúc xắc có số chấm xuất hiện lớn hơn 4 ". 

Ta có . Người chơi được ít nhất 30 điểm khi .

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có

.

Chú ý:

Người ta chứng minh được rằng kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên được cho bởi công thức:

Ví dụ 4 (SGK -tr.19)

………………..