Giáo án chuyên đề Toán 12 kết nối Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV giới thiệu: trong thực tế có nhiều bài toán tối ưu cần được giải quyết có thể sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm mục tiêu.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 1.

GV hướng dẫn HS chọn kí hiệu đại lượng đã biết và chưa biết để HS thực hiện các yêu cầu của bài toán.

- HS phát biểu về các bước giải toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

- HS quan sát Ví dụ 1. GV giảng giải.

+ Với thì tổng thời gian để chèo thuyền và đi bộ về nhà của người đánh cá là bao nhiêu?

Làm thế nào để tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm T(x)?

+ Với trường hợp b thì hàm thời gian là bao nhiêu? Tìm min T(x).

- HS làm Luyện tập 1: xét bài toán tối ưu trong vật lí.

+ Quỹ đạo chuyển động của vật có dạng gì? Độ cao nhất đạt được tại điểm nào? Tìm tung độ điểm đó.

Từ đó tìm thời điểm vật đạt được độ cao lớn nhất,

+ Tầm ném xa: . Tìm để L đạt giá trị lớn nhất.

- HS thảo luận, đọc hiểu Ví dụ 2. GV gọi HS trình bày lại, yâu câu giải thích.

+ Bài toán cho điều gì? Cần chứng minh điều gì? 

Chiều dài đường gấp khúc APB là L(x) nhỏ nhất khi giá trị bằng bao nhiêu? Giải thích.

+ Đọc định luật phản xạ ánh sáng.

- HS thực hiện Luyện tập 2 theo nhóm đôi: Vận dụng đạo hàm để chứng minh định luật về khúc xạ ánh sáng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

HĐ 1:

Kí hiệu là quãng đường và vận tốc chèo thuyền của người đánh cá khi chèo thuyền. 
Kí hiệu là quãng đường và vận tốc của người đánh cá khi đi bộ dọc bờ biển.

Ta có .

Kí hiệu .

b) Ta có .

Vì tam giác vuông tại nên

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến rồi đi bộ về nhà thì

. 

.

Do đó (giờ).

Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết giờ.

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm rồi đi bộ về nhà thì ta có 

.

Do đó (giờ).

Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm ở phía bắc điểm , với , rới đi bộ về nhà thì hết

.

Kết luận

Các bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm

Bước 1. Hiểu vấn đề:

Cần xác định rõ: Điều chưa biết là gì? Các đại lượng đã cho là gì? Các điều kiện đã cho là gì?

Bước 2. Giới thiệu kí hiệu: 

Gán một kí hiệu cho đại lượng sẽ được cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá (ví dụ: L, S, P, Q,...). Đồng thời chọn các kí hiệu cho các đại lượng chưa biết khác (ví dụ

Bước 3. Tìm mối quan hệ giữa các biến: 

Thể hiện các thông tin của bài toán dưới dạng các biến số (chọn trong các kí hiệu từ Bước 2). Sử dụng thông tin đã cho để tìm mối quan hệ (ở dạng phương trình) giữa các biến này. Sau đó, sẽ biểu thị mối quan hệ đó dưới dạng một hàm số, chẳng hạn như ). Tìm miền xác định của hàm số này.

Bước 4. Phát biểu bài toán: 

Phát biểu lại bài toán dưới dạng bài toán tối ưu của hàm số (một biến số).

Bước 5. Giải quyết vấn đề: 

Sử dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toàn tối ưu này (ví dụ sử dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số). Thể hiện lời giải trong ngữ cảnh của bài toán thực tiễn.

Ví dụ 1 (SGK- tr.36)

Luyện tập 1

a) Qũy đạo chuyển động

Hàm số (1) có dạng của hàm số bậc hai biến với hệ số cao nhất âm, do đó đồ thị hàm số là một đường parabol có đỉnh ở trên. Độ cao nhất của vật trên quỹ đạo ứng với tung độ đỉnh của parabol.

Khi đó .

Với ta có độ cao lớn nhắt của vật là .

Thời điểm vật đạt được độ cao lớn nhất là

.

b) Tầm ném xa trong chuyển động ném xiên là

.

Tầm ném xa đạt giá trị lớn nhất bằng khi hay .

Ví dụ 2 (SGK -tr.37)

Luyện tập 2

Kí hiệu tổng thời gian di chuyển từ đến của tia sáng là . Ta có:

Lấy đạo hàm của hàm số ta có

.

Xét phương trình , ta có

.

Từ hình vẽ có:

Do đó.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS tìm hiểu một số hàm số trong kinh tế học.

- HS tìm hiểu Ví dụ 3, Ví dụ 4.

+ Ví dụ 3: Để tìm doanh thu lớn nhất khi giảm giá thì cần tìm giá trị lớn nhất của hàm nào?

+ Ví dụ 4: xác định hàm chi phí, hàm doanh thu và hàm lợi nhuận. Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận.

- HS thực hiện Luyện tập 3.

…………..

2. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

Nhận xét:

Hàm chi phí

Nếu là tổng chi phí mà công ty (doanh nghiệp) phải trả để sản xuất đơn vị hàng hoá thì được gọi là hàm chi phí.

Hàm cầu

Gọi là giá bán mỗi đơn vị hàng hoá khi giao dịch đơn vị hàng hoá. Khi đó được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và hàm số này được kì vọng là hàm giảm theo biến

Hàm doanh thu

Nếu đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị thì hàm doanh thu, kí hiệu là , được tính bởi công thức

Hàm lợi nhuận

Nếu đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị là thì hàm lợi nhuận, kí hiệu là , được tính bởi công thức

Ví dụ 3 (SGK -tr.39)

Ví dụ 4 (SGK -tr.40)

Luyện tập 3

………………..