Giáo án điện tử toán 10 kết nối bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (2 tiết)

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG

Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1 – 6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:

Loại 1 (dành cho trẻ từ 6 – 13 tuổi): 50 000 đồng/ vé.

Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng.

Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

Gợi ý

• Số tiền bán vé phụ thuộc vào những lượng vé nào?

phụ thuộc vào số vé bán được của loại 1 và loại 2.

• Muốn không lỗ thì số tiền bán vé thu được phải như thế nào?

Số tiền bán vé phải lớn hơn hoặc bằng 20 triệu đồng.

Ta cần giải một bất phương trình mà có 2 ẩn số cần tìm.

CHƯƠNG II: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN (2 Tiết)

NỘI DUNG BÀI HỌC

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1

Trong tình huống mở đầu, gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y.

1. a) Các số nguyên không âm x và y phải thỏa mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?
2. b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y thỏa mãn điều kiện gì?

Giải

Biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y:  50x + 100y

1. a) 50x + 100y ≥ 20 000
2. b) 50x + 100y < 20

Định nghĩa:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

ax + by ≤ c (ax + by ≥ c, ax + by <c, ax + by >c)

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ 1:

Bất phương trình nào sai đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

2x + 3y < 1                             2x² + 3y < 1

Giải

Bất phương trình 2x + 3y < 1 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình 2x² + 3y < 1 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa x². 

HĐ2

Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.

Trả lời tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).

Giải

Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình hai ẩn

50x + 100y < 20 000

Nếu rạp chiếu phim bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì số tiền thu được là 15 triệu đồng. Do đó rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Cặp số (x; y) = (150; 150) thỏa mãn bất phương trình hai ẩn

50x + 100y ≥ 20 000

Nếu rạp chiếu phim bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì số tiền thu được là 22,5 triệu đồng. Do đó rạp chiếu phim không phải bù lỗ.

Định nghĩa:

Cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức ax₀ + by₀ ≤ c đúng.

Ví dụ 2

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y > 5. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?

1. a) (x; y) = (3; 4) b) (x; y) = (0; -1)

Giải

2. a) Vì 3 + 2. 4 = 11 > 5 nên cặp số (3; 4) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
3. b) Vì 0 + 2. (-1) = - 2 < 5 nên cặp số (0; -1) không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Luyện tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y ≥ 0.

1. a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
2. b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?

Giải

1. a) Ví dụ hai nghiệm của bất phương trình đã cho là: (x; y) = (0; 1), (x ; y) = (1; 1).
2. b) Với y = 0, có vô số giá trị x mà x ≥ 0 thỏa mãn bất phương trình đã cho.

                   Em có nhận xét gì về số nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

1. a) Ví dụ hai nghiệm của bất phương trình đã cho là: (x; y) = (0; 1), (x ; y) = (1; 1).
2. b) Với y = 0, có vô số giá trị x mà x ≥ 0 thỏa mãn bất phương trình đã cho.
3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

HĐ3

Cho đường thẳng d: 2x – y = 4 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

1. a) Các điểm O(0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?

Tính giá trị của biểu thức 2x – y tại các điểm đó và so sánh với 4.

1. b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).

Giải

1. a) Các điểm O, A, B có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm A: 2. (-1) – 3 = - 5 < 4

Thay tọa độ điểm B: 2. (-2) – (-2) = - 2 < 4

Thay tọa độ điểm O: 2. 0 – 0 = 0 < 4.

1. b) Các điểm C, D có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm C: 2.3 – 1 = 5 >4.

Thay tọa độ điểm D: 2.4 – (-1) = 9 > 4.

Định nghĩa

• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hơp các điểm có tọa độ là nghệm của bất phương trình ax + by ≤ c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
• Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:
• Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by > c.
• Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by < c.
• Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by = c.

Ví dụ 3

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ 100 trên mặt phẳng tọa độ.

Giải

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: x + y = 100 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức x + y. Chẳng hạn, lấy O(0; 0), ta có 0 + 0 < 100.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ (miền không bị gạch).

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by = c

Bước 2: Lấy M(x₀; y₀⁡) ∉ d

Bước 3: Tính ax₀ + by₀ so sánh với c.

Bước 4:

• Nếu ax₀ + by₀ ≤ c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình.
• Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình.