BÀI 6: PHÉP CHIẾU SONG SONG.

HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN

(15 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Hình dưới đây có thế là hình chiếu song song của hình lục giác đều được không? Vì sao?

Giải:

Hình trên không thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều vì

Lục giác đều ABCDEF có O là giao điểm các đường chéo

Ta có AO // BC

Trên hình đã cho không biểu diễn được điều đó

Câu 2: Trong các hình sau, hình nào biểu diễn cho hình lập phương?

Giải:

Hình a biểu diễn hình lập phương

Câu 3: Các hình a, b, c dưới đây là hình biểu diễn của tam giác nào?

Giải:

Hình a, là hình biểu diễn của tam giác đều

Hình b, là hình biểu diễn của tam giác cân

Hình c, là hình biểu diễn của tam giác vuông

Câu 4: Các hình a, b, c, d sau đây là hình biểu diễn của các hình bình hành nào (hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật)?

Giải:

Hình a biểu diễn hình bình hành

Hình b biểu diễn hình vuông

Hình c biểu diễn hình thoi

Hình d biểu diễn hình chữ nhật

Câu 5: ho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau. Đường thẳng a cắt (α) và (β) lần lượt tại A và C. Đường thẳng b song song với a cắt (α) và (β) lần lượt tại B và D.

Hình sau minh họa nội dung trên đúng hay sai?

Giải:

Sai vì

Ta có định lí: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song

Theo đề bài ta có (α) // (β)

a//b nên A,B,C,D thuộc mặt phẳng

AB là giao tuyến của (α) và (ABDC)

CD là giao tuyến của (β) và (ABDC)

⇒ AB // CD (theo định lí)

Hình đề bài cho không biểu diễn được AB // CD

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: a) Vẽ hình biểu diển của một tứ diện và trọng tâm của nó.

1. b) Vẽ hình biểu diễn của tam giác vuông nột tiếp trong đường tròn.

Giải:

1. 
   a) Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì trung điểm G của MN sẽ biểu diễn cho trọng tâm của tứ diện.
2. 
   b) Vẽ elip tâm O là hình biểu diễn của đường tròn đã cho. Lấy hai điểm A và B là hai điểm trên elip sao cho B, C, O thẳng hàng và một điểm A thuộc elip sao cho A khác với B và C. Khi đó, tam giác ABC là hình biểu diễn của một tâm giác vuông nội tiếp trong một đường tròn.

Câu 2: Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào sau đây?

Giải:

Gọi E là trung điểm của AB. M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên

Theo định lí Ta-lét ta có MN // CD.

Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào sau đây?

Giải:

Do (MAB) chứa AB//CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Đường thẳng này cắt SD tại điểm N

Khi đó MN là đường trung bình của tam giác SCD nên N là trung điểm của SD.

Câu 4: Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu AB (AB không song song với (P))

Giải:

Vì phương chiếu l là đường thẳng AB nên hình chiếu của A và B chính là giao điểm của AB và (P).

Do đó

Các đường thẳng lần lượt đi qua C, D song song với AB cắt (P) tại C', D' thì C', D' chính là hình chiếu của C, D lên (P) theo phương AB.

Vậy hình chiếu của tứ diện ABCD là tam giác A'C'D'.

Câu 5: Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.

Giải:

Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song (tính song song không được bảo toàn).

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Giải:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, G' là hình chiếu song song của nó.

Gọi M là trung điểm cùa BC thì A, G, M thẳng hàng.

Gọi M' là hình chiếu của M. Khi đó theo tính chất của phép chiếu song song ta có

A', G' M' thẳng hàng và  

B', M', C' thằng hàng và

Từ (1) và (2) suy ra G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Câu 2: Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (α) và phương chiếu của tam giác ABC trên (α) là a) Một tam giác cân

1. b) Một tam giác đều
2. c) Một tam giác vuông

Giải:

1. 
   a) Qua BC dựng một mặt phẳng (α) không đi qua A.

Trong mặt (α) ta dựng tam giác cân

Khi đó, phép chiếu song song lên (α) theo phương chiếu biến tam giác ABC thành tam giác cân  

1. b) Trong (α) ở câu a), ta dựng tam giác và chọn phương chiếu biến tam giác ABC thành tam giác đều  
2. c) Trong mặt phẳng (α) câu a), ta dựng tam giác vuông và chọn phương  biến tam giác ABC thành tam giác vuông  

Câu 3: a) Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

1. b) Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.

Giải:

1. a) Vẽ tam giác tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn . Qua O ta kẻ hai dây ME và NF của elip lần lượt song song với AC và AB. Khi đó, tứ giác MNEF là hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.
2. 
   b) Xét hình lục giác đều ABCDEF , ta nhận thấy:

- Tứ giác OABC là hình thoi

- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O

Từ đó, suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau:

- Vẽ hình bình hành O'A'B'C' biểu diễn cho hình thoi OABC.

- Lấy các điểm D', E', F' lần lượt đối xứng với các điểm A', B' C' qua O', ta được hình biểu diễn A' B'C'D'E'F' của hình lục giác đều ABCDEF.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định các điểm M, N tương ứng trên các đoạn AC', B'D' sao cho MN song song với BA' và tính tỉ số

Giải:

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BA'.

Ta có N là ảnh của M hay M chính là giao điểm của B'D' và ảnh AC' qua phép chiếu này.

Do đó ta xác định M, N như sau

Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho A'K = B'A' thì ABA'K là hình bình hành

nên AK // BA' suy ra K là ảnh của A trên AC' qua phép chiếu song song.

Gọi .

Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M.

Ta có M,N là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales, ta có

Câu 2: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC'.

1. a) Xác định đường thẳng đi qua M đồng thời cắt AN và A'B.
2. b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AN và A'B. Hãy tính tỉ số

Giải:

1. a) Giả sử đã dựng được đường thẳng cắt cả AN và BA'.

Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AN và BA'.

Xét phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu A'B.

Khi đó ba điểm J, I, M lần lượt có hình chiếu là B, I', M.

Do J, I, M thẳng hàng nên B, I', M cũng thẳng hàng.

Gọi N' là hình chiếu của N thì AN' là hình chiếu của AN.

Vì .

Từ phân tích trên suy ra cách dựng:

Lấy

Trong (ANN') dựng II' // NN' (đã có NN' // CD') cắt AN tại I.

Vẽ đường thẳng MI , đó chính là đường thẳng cần dựng.

1. b) Ta có MC = CN' suy ra MN' = CD = AB.

Do đó I' là trung điểm của BM .

Mặt khác II' // JB nên II' là đường trung bình của tam giác MBJ, suy ra IM = IJ .