Bài tập file word Toán 12 cánh diều Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN. CÔNG THỨC BAYES 

(19 câu)

1. NHẬN BIẾT (3 câu)

Câu 1: Cho hai biến cố với và . Tính xác suất của biến cố A.

Trả lời:

Ta có

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Câu 2: Cho hai biến cố thoả mãn . Tính xác suất .

Trả lời:

Câu 3: Cho hai biến cố có . Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Trả lời:

2. THÔNG HIỂU (3 câu)

Câu 1: Một công ty thời trang có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo thời trang, trong đó có 56% áo thời trang ở chi nhánh I và 44% áo thời trang ở chi nhánh II. Tại chi nhánh I có 75% áo chất lượng cao và tại chi nhánh II có 68% áo chất lượng cao (kích thước và hình dạng bề ngoài của các áo là như nhau). Chọn ngẫu nhiên 1 áo thời trang. Xác suất chọn được áo chất lượng cao là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố:

: “Chọn được áo chất lượng cao”;

: “Chọn được áo ở chi nhánh I; 

: “Chọn được áo ở chi nhánh II”.

Từ giải thiết, ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là

Câu 2: Trong một ngày hội giao lưu học sinh, chỉ có 350 học sinh trường Hoà Bình và 450 học sinh trường Minh Phúc đứng ở hội trường. Trong các học sinh giao lưu, tỉ lệ học sinh trường Hoà Bình bị cận thị là 0,2, còn tỉ lệ học sinh trường Minh Phúc bị cận thị là 0,3. Các học sinh của hai trường đúng lẫn với nhau. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được học sinh bị cận thị là bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 3: Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có 6% những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

3. VẬN DỤNG (8 câu)

Câu 1: Tại một địa phương có 500 người cao tuổi, bao gồm 260 nam và 240 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có 40% và 55% bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố:

: “Chọn được người không bị bệnh tiểu đường”; 

: “Chọn được người cao tuổi là nam”;

: “Chọn được người cao tuổi là nữ”.

Từ giả thiết, ta có: 

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là .

Câu 2: Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1 000 000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố

M: “Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên”;

D: “Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A”.

Theo giả thiết, ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Theo công thức Bayes, ta có:

Vậy khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là .

Câu 3: Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1 600 sản phẩm, trong đó có 35 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của các biến cố:

A: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

B: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

C: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”;

D: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”; E: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi”.

Trả lời:

Xét các biến cố:

M: “Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

N: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi”.

Khi đó, . 

Sau khi lấy một sản phẩm không bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1599, số sản phẩm lỗi là 35 nên xác suất của biến cố A là:

Xác suất của biến cố B là:

Sau khi lấy một sản phẩm bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1599, số sản phẩm lỗi là 34 nên xác suất của biến cố C là:

xác suất của biến cố D là

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố E là:

Câu 4: Thực hiện khảo sát tại một địa phương mà số trẻ em nam gấp 1,5 lần số trẻ em nữ, có 8% số trẻ em nam bị hen phế quản, 5% số trẻ em nữ bị hen phế quản. Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em. Giả sử trẻ em được chọn bị hen phế quản. Xác suất chọn được trẻ em nam là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Câu 5: Trường Bình Phúc có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 6: Một khu dân cư có 60% các hộ gia đình có không quá 4 thành viên. Trong các gia đình có không quá 4 thành viên, có 20% gia đình có ba thế hệ cùng chung sống; trong các gia đình có trên 4 thành viên, có 70% gia đình có ba thế hệ cùng chung sống. Chọn ngẫu nhiên 1 hộ gia đình trong khu dân cư. Biết rằng gia đình đó có ba thế hệ cùng chung sống, tính xác suất để gia đình đó có trên 4 thành viên.

Trả lời:

Câu 7: Một xưởng máy sử dụng một loại linh kiện được sản xuất từ hai cơ sở I và II. Số linh kiện do cơ sở I sản xuất chiếm 61%, số linh kiện do cơ sở II sản xuất chiếm 39%. Tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của cơ sở I, cơ sở II lần lượt là 93%, 82%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 linh kiện ở xưởng máy. 

Xét các biến cố:

: “Linh kiện được kiểm tra do cơ sở I sản xuất”; 

: “Linh kiện được kiểm tra do cơ sở II sản xuất”; 

: “Linh kiện được kiểm tra đạt tiêu chuẩn”.

Tính xác suất để linh kiện được kiểm tra đạt tiêu chuẩn và xác suất để linh kiện được kiểm tra do cơ sở I sản xuất biết rằng linh kiện đó đạt tiêu chuẩn.

Trả lời:

Câu 8: Một kho hàng có 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II, trong đó có 1% sản phẩm loại I bị hỏng, 4% sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xét các biến cố:

A: “Khách hàng chọn được sản phẩm loại I”;

B: “Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng”.

Tính xác suất để khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng và xác suất để khách hàng chọn được sản phẩm loại I biết rằng sản phẩm đó không bị hỏng.

Trả lời:

4. VẬN DỤNG CAO (5 câu)

Câu 1: Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng. Hộp thứ hai có 6 quả bóng bàn màu trắng và 4 quả bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai.

Trả lời:

Vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì có hai khả năng: khả năng thứ nhất là lấy được 3 quả bóng bàn màu trắng và 1 quả bóng bàn màu vàng; khả năng thứ hai là lấy được 2 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng.

Xét các biến cố:

: “Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai”;

: “Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng”; 

: “Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng”. 

* Xét khả năng thứ nhất: 

Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là , có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra .

Vì khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên

* Xét khả năng thứ hai: 

Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là , có cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra .

Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là

----------------------------------

----------------------- Còn tiếp -------------------------