Bài tập file word Toán 12 cánh diều Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (2 câu)

Câu 1: Cho hàm số  có đồ thị như hình bên với . Tính giá trị của biểu thức ?

Trả lời:

Dựa vào hàm số ta có tiệm cận ngang là , tiệm cận đứng là . Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy tiệm cận ngang là  và tiệm cận đứng là . Suy ra  và . 

Ta lại thấy đồ thị đi qua điểm  nên

Vậy

Câu 2: Cho hàm số  liên tục và có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ. Biện luận số nghiệm của phương trình .

Trả lời: 

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Câu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a)                                   b)

c)                                 d)

Trả lời:

a)      

Tập xác định: .

Ta có:

hoặc .

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và , đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại điểm ; giá trị cực đại của hàm số là .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ; giá trị cực tiểu của hàm số là .

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b)

Tập xác định: .

Ta có:

hoặc .

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và , đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại điểm ; giá trị cực đại của hàm số là .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ; giá trị cực tiểu của hàm số là .

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận điểm  làm tâm đối xứng.

c)     

Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số đồng biến trên và hàm số không có cực trị.

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận điểm  là tâm đối xứng.

d)

Tập xác định: .

Ta có:  

hoặc .

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  và , đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại điểm ; giá trị cực đại của hàm số là .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ; giá trị cực tiểu của hàm số là .

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:

a)                                          b)

c)                                         d)                                          

Trả lời: 

a)

Tập xác định: .

Ta có:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Tiệm cận:

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là .

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là  làm tâm đối xứng.

b)

Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Tiệm cận:

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là .

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là .

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là  làm tâm đối xứng.

c)   

Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Tiệm cận:

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là .

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là .

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là  làm tâm đối xứng.

d)

Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Tiệm cận:

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là .

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là .

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là  làm tâm đối xứng.

Câu 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a)                                    b)

Trả lời: 

Câu 4: Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số

Trả lời:  

Câu 5: Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ .

Trả lời: 

Câu 6: Cho hàm số  (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng .

Trả lời: 

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Câu 1: Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Biện luận theo  số nghiệm của phương trình .

Trả lời:

a) Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại ; giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại ; giá trị cực tiểu .

Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Ta có:

Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm số  và đường thẳng .

Đồ thị hàm số  được vẽ theo đồ thị hàm số  bằng cách giữ nguyên phần bên phải trục tung, rồi lấy điểm đối xứng phần đó qua trục tung.

Theo đồ thị ta có:

+ hay : phương trình có 2 nghiệm.

+ : phương trình có 3 nghiệm.

+ : phương trình có 4 nghiệm.

Câu 2: Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

b) Tìm điểm trên đồ thị có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.

Trả lời: 

a) Tập xác định: .

Ta có: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Hàm số có điểm cực đại , giá trị cực đại ; hàm số có điểm cực tiểu , giá trị cực tiểu .

Giới hạn:

nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là .

và  nên đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

	0

Đồ thị:

b) Lấy điểm  trên đồ thị

Tổng khoảng cách từ  đến hai tiệm cận là

Theo bất đẳng thức Cô-si,

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ  đến hai tiệm cận là  đạt được với hai điểm .

Câu 3: Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Giả sử đường thẳng  cắt (C) tại hai điểm phân biệt  và cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm . Chứng minh .

Trả lời: 

Câu 4: Cho hàm số  (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Tìm trên đồ thị (C) các điểm có tọa độ là số nguyên.

b) Tìm các giá trị của  để phương trình  có hai nghiệm phân biệt.

Trả lời: 

Câu 5: Cho hàm số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị .

b) Đường thẳng  đi qua điểm  và có hệ số góc bằng . Xác định các giá trị của  để cắt đồ thị  tại ba điểm phân biệt.

Trả lời: 

4. VẬN DỤNG CAO (4 câu)

Câu 1: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuộc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong 1 giờ được tính theo công thức  mg/L. Sau khi tiêm thuốc bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Trả lời:

Xét hàm số

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất khi .

------------------------------

----------------- Còn tiếp ------------------