Bài tập file word Toán 12 cánh diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

BÀI 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

(19 câu)

1. NHẬN BIẾT (2 câu)

Câu 1: Cho hình hộp

a) Giá của ba vectơ  có cùng thuộc mặt phẳng không?

b) Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho ba vectơ đó bằng vectơ .

c) Hãy chỉ ra tất cả các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho các vectơ đó là vectơ đối của vectơ .

Trả lời:

a) Giá của ba  lần lượt la ba đường thẳng .

Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng vì bốn điểm  không đồng phẳng.

b) Do  là hình hộp nên ba đa giác  là các hình bình hành.

Suy ra  và các vectơ  cùng hướng với vectơ  nên .

Vậy ba vectơ  là ba vectơ bằng với vectơ .

c) Do  là hình hộp nên  và các vectơ  ngược hướng với vectơ .

Vậy các vectơ  là các vectơ là vectơ đối của vectơ .

Câu 2: Cho hình lăng trụ . Gọi  lần lượt là trung điểm các cạnh . Trong tất cả những vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ, hãy chỉ ra các vectơ:

a) Khác  và cùng phương với .

b) Khác  và cùng phương với .

c) Là vectơ đối của .

b) Bằng với vectơ .

Trả lời: 

a) Vectơ khác  và cùng phương với  là vectơ có giá  hoặc . Đó là các vectơ .

b) Vectơ khác  và cùng phương với  là .

c) Các vectơ đối của là .

d) Các vectơ bằng với  là .

Câu 3: Cho hình chóp . Điểm  thuộc cạnh  và .

a) Viết hệ thức liên hệ giữa cặp vectơ  và ,  và .

b) Tìm điểm  sao cho .

c) Chứng minh rằng .

Trả lời:

Câu 4: Cho hình hộp . Hãy xác định các vectơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp  và

a) Cùng phương với ;

b) Bằng vectơ ;

c) Ngược hướng với vectơ .

Trả lời:

Câu 5: Cho hình chóp đều  có cạnh đáy  và đường cao . Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh bên  và  lần lượt là tâm của các hình vuông . Tính độ dài các vectơ  theo  và .

Trả lời:

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Câu 1: Cho hình lập phương  có cạnh bằng 2. Tìm độ dài của các vectơ sau:

a)                                  b)

Trả lời:

a)

b)

Câu 2: Cho tứ diện . Gọi  là trọng tâm của tam giác  và  là trung điểm đoạn thẳng . Chứng minh rằng:

a) ;                                         

b)  ( là điểm bất kì trong không gian).                  

Trả lời: 

a) Vì  là trọng tâm của  nên

Vì là trung điểm đoạn thẳng  nên .

Do đó: .

b) Theo quy tắc ba điểm, ta có:

.

Câu 3: Cho tứ diện  có  lần lượt là trung điểm của  là trung điểm  và  là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng:

a) .                              

b) .

c) .

d) . 

e) .

Trả lời: 

Câu 4: Cho tứ diện đều  có  là trung điểm của . Hãy tính góc giữa các cặp vectơ:

a) và                                                  b) và           

Trả lời:  

Câu 5: Cho tứ diện  có  và  cùng vuông góc với . Gọi  lần lượt là trung điểm của hai cạnh . Chứng minh rằng .

Trả lời: 

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều  có độ dài tất cả các cạnh bằng . Gọi  là tâm của hình vuông . Tính các tích vô hướng sau:

a)                                  b)                         c)

Trả lời: 

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Câu 1: Cho hình hộp . Giả sử điểm  thuộc , điểm  thuộc  và .

a) Biểu diễn các vectơ theo ;

b) Tìm  và  sao cho , khi đó tính tỉ số .

Trả lời:

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có:

Ta có:

Từ , ta có , 

suy ra

Từ , suy ra

Vậy

Do đó: .

b) Điều kiện để  là  hay

Do  không cùng phương nên từ đó, ta có:

Vậy  được xác định bởi  và

Lúc này

Câu 2: Trong không gian, cho hình chóp  đáy là hình bình hành. Gọi  và  là các điểm thỏa mãn . Mặt phẳng  cắt  tại . Tính tỉ số .

Trả lời: 

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật . Gọi  là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng  thẳng hàng.

Trả lời: 

Câu 4: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi  lần lượt là trọng tâm của tam giác  và ,  là giao điểm của hai đường thẳng  và . Chứng minh rằng các đường thẳng  và  song song với nhau.

Trả lời: 

4. VẬN DỤNG CAO (4 câu)

Câu 1: Cho biết  (đơn vị: ) sinh bởi lực  tác dụng lên một vật được tính bằng công thức  trong đó là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị: mét) khi chịu tác dụng của lực . Một chiếc xe có khối lượng 1,5 tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêng  so với phương ngang. Tính công sinh ra bởi trọng lực  khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực  được xác định bởi công thức , với  (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và  là gia tốc rơi tự do có độ lớn .

Trả lời:

Ta có: 1,5 tấn = 1500kg

Độ lớn của trọng lực tác dụng lên xe là

Vectơ  biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là  và

Công sinh ra bởi trọng lực khi xe đi hết đoạn đường đốc là:

------------------------------

----------------- Còn tiếp ------------------