Bài tập file word Toán 12 cánh diều Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

BÀI 3: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (7 câu)

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ , cho các vectơ , . Tìm toạ độ của vectơ .

Trả lời:

Ta có: hay .

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ , cho các vectơ , . Hãy chỉ ra một vectơ khác vectơ vuông góc với cả hai vectơ và .

Trả lời:

Ta có: . Mà và . Nên khi đó vectơ vuông góc với cả hai vectơ và .

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ , cho . Tìm tạo điểm điểm P để N là trung điểm của đoạn thẳng MP.

Trả lời:

Gọi .

Vì N là trung của đoạn thẳng MP nên:

Vậy .

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có và trọng tâm . Tìm toạ độ của đỉnh C.

Trả lời:

Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ , cho các vectơ , . Tìm toạ độ của các vectơ , , , .

Trả lời:

Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ , cho các vectơ , . Tính côsin của góc .

Trả lời:

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ , cho . Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Trả lời:

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ , cho , và .

a) Tìm toạ độ của vectơ

b) Tìm toạ độ của vectơ sao cho

Trả lời:

a) Ta có: và

Do đó:

Suy ra:

b) Ta có: và

Gọi , khi đó

Do đó khi:

Vậy .

Câu 2: Cho hình hộp biết , . Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) và

b) và

Trả lời:

a) Ta có: .

Gọi , ta có:

là hình họpp nên: , suy ra:

Vậy toạ độ của điểm

Tương tự, ta có:

và . Khi đó .

Vậy vuông góc với cả hai vectơ và .

b) và . Khi đó .

Vậy vuông góc với cả hai vectơ và .

Câu 3: Trong không gian , cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm , cạnh bằng ; cạnh bên .

a) Tìm toạ độ của điểm A 

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác SAB 

c) Tìm toạ độ của điểm là điểm trên mặt phẳng sao cho ba điểm C, E, G thẳng hàng

Trả lời:

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Tìm toạ độ điểm M thuộc đoạn AB sao cho .

Trả lời:

Câu 5: Trong không gian , cho các điểm , và . 

a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?

b) Tìm toạ độ của điểm biết rằng tứ giác là hình thang có hai đáy là và .

Trả lời:

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ , , và Biết rằng , với là các số thực. Tính giá trị .

Trả lời:

Ta có , suy ra:

Do đó

Vậy .

Câu 2: Trong không gian , cho các điểm và . 

a) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng.

b) Biết rằng D là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tứ giác ABCD là hình thang. Tìm toạ độ của điểm D. 

c) Biết rằng E là chân đường phân giác của góc A trong tam giác ABC. Tìm toạ độ của điểm E. 

Trả lời:

a) Ta có: , Hai vectơ và không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng

b) Gọi

Ta có:

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên hai vectơ cùng phương, suy ra:

Vậy  

c) Gọi

Ta có: ,

Do E là chân đường phân giác của góc A trong tam giác ABC nên hai vectơ , ngược hướng và , nên , suy ra:

Vậy

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ , cho

a) Chứng minh rằng ba điểm không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác .

c) Tính

Trả lời:

Câu 4: Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí 4 cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A không?

Trả lời:

Câu 5: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), một chiếc máy bay đang di chuyển với hướng bay không đổi từ điểm đến vị trí hạ cánh là (2; 3; 0). Hỏi đường bay của máy bay hợp với mặt đất một góc bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.) 

Trả lời:

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Treo một vật nặng có trọng lượng 30 N bởi ba sợi dây giống hệt nhau, các sợi dây đôi một tạo với nhau một góc 90° như Hình sau. Gọi , , ,

lần lượt là các lực căng của ba sợi dây nói trên. Độ lớn của lực bằng bao nhiêu Niutơn? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)

Trả lời:

Xét tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC biểu diễn độ lớn các lực căng dây và SP biểu diễn độ lớn của trọng lực tác dụng nên vật nặng S.

Ta có: , , và , trong đó G là trọng tâm của tam giác đều ABC.

Đặt

Khi đó

Mặt khác nên tam giác vuông tại G, ta có:

 ------------------------------

----------------- Còn tiếp ------------------