Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 7 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

BÀI 1: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai :

A = 3x2 – 9            B = x + y             C = x2 - 6x + 8                 D = 2x + 2y

Trả lời:

Tam thức bậc hai là : A, C

Bài 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 – 3x + 1.

Xét dấu của f(x) tại x = -3; x = 0 ; x = 1

Trả lời:

f(-3) = (-3)2 – 3.(-3) + 1 = 19 > 0

f(0) = 02 – 3.0 + 1 = 1 > 0

f(1) = 12 – 3.1 + 1 = -1 < 0

Bài 3: Tìm biệt thức của các tam thức bậc hai :

a) M = x2 + 3x + 8                      b) N = 2x2 – 4x – 5                    c) Q = x2 – x + 7

Trả lời:

a) Δ = 32 – 4.1.8 = -23

b) Δ = (-4)2 – 4.2.(-5) = 56

c) Δ = (-1)2 – 4.1.7 = -27

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau :

a) g(x) = 3x2 – x + 5                             b) h(x) = -x2 + 4x - 4

Trả lời:

a) Δ = (-1)2 – 4.3.5 = -59 < 0 ; hệ số a = 3 > 0 => g(x) > 0  x

b) Δ = 42 – 4.(-1).(-4) = 0 ; nghiệm kép x0 =  = 2 và hệ số a = -1 < 0

=> h(x) < 0 khi x ≠ 2

Bài 2: Tìm biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai k(x) = 5x2 – 8x + 3

Trả lời:

Biệt thức Δ = b2 – 4ac = (-8)2 – 4.5.3 = 4

Biệt thức thu gọn Δ’ = ()2 – ac = (-4)2 – 5.3 = 1

Bài 3: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – 5x + 4

Trả lời:

f(x) = x2 – 5x + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = 4 và hệ số a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu :

Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số y =  

Trả lời:

Hàm số xác định ó x2 - 5x + 6 ≥ 0 ó x ≤ 2 hoặc x ≥ 3

Vậy tập xác định của hàm số là D = ( -; 2]  [3; +)

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Chứng minh biểu thức f(x) = 2x2 – 4x + 3 luôn dương  x

Trả lời:

Δ’ = ( -2)2 – 2.3 = -2 < 0

Hệ số a = 2 > 0 => f(x) > 0  x

Bài 2: Lập bảng xét dấu của biểu thức f(x) =

Trả lời:

Điều kiện x2 – 7x + 6 ≠ 0 ó x ≠ 1; x ≠ 6

5x2 + 3x – 8 = 0 ó x =  ; x = 1

Ta có bảng xét dấu :

Bài 3: Chứng minh tam thức bậc hai sau luôn vô nghiệm với mọi giá trị của m.

          f(x) = x2 – 2(m – 1)x + 2m2 + m + 3 = 0

Trả lời:

f(x) có Δ’ = ( m + 1)2 – (2m2 + m + 3) = -m2  + m – 2

Đặt h(m) = -m2 + m – 2 có Δ = - 7 < 0

Bảng xét dấu h(m)

Do đó f(x) có Δ’ < 0 m. Vậy tam thức bậc hai f(x) luôn vô nghiệm m.

Bài 4 : Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức y = - 30x2 + 14130x - 1366800 , trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Dựa theo số sản phẩm bán ra, cho biết khi nào doanh nghiệp có lãi, khi nào bị lỗ ?

Trả lời:

Xét tam thức bậc hai f(x) = - 30x2 + 14130x – 1366800

f(x) có hai nghiệm là x1 = 136 và x2 = 335

Ta có bảng xét dấu :

Doanh nghiệp có lãi ó f(x) > 0 ó 136 < x < 335

Doanh nghiệp bị lỗ ó f(x) < 0 ó x < 136 hoặc x > 335

Vậy doanh nghiệp có lãi khi bán từ 137 đến 334  sản phẩm;

        doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 135 sản phẩm hoặc tối thiểu 336 sản phẩm.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m để tam thức bậc hai luôn dương x

          g(x) = 3x2 – 2.(m – 1)x + m2 + 4

Trả lời:

g(x) > 0 x ó a > 0 ; Δ’ < 0

                   ó 3 > 0 ( luôn đúng) ; Δ’ = (m – 1)2 – 3.(m2 + 4) < 0 (*)

Đặt f(m) = - 2m2 – 2m – 11 có Δ = (-2)2 – 4.(-2).(-11) = -18 < 0

=> f(m) < 0 m => (*) luôn đúng

Vậy m thì g(x) > 0 x

Bài 2: Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao y ( mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian t ( giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là 21m và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm t lớn nhất là bao nhiêu ( t nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên 10m so với mặt đất?

Trả lời:

Xét hàm số bậc hai f(t) = at2 + bt + x ( a ≠ 0)

Theo giả thiết ta có : c = 0;  = 3; 9a + 3b + c = 21

ó c = 0 ; b = 14 ; a =  => f(t) = t2 + 14 t

f(t) = 0 ó t1 =   0,83 ; t2 =   5,17

Ta có bảng xét dấu :

f(t) > 0 ó t1 < t < t2 ó 0,82 < t < 5,17

Vì t là số nguyên => t  [1; 5]

Vậy t = 5 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.

Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để tam thức bậc hai x2 – 2.(m -1).x + m2 – 2m = 0 có 2 nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Trả lời:

x2 – 2.(m -1).x + m2 – 2m = 0 ó x2 – 2mx+ m2 + 2x – 2m = 0

ó ( x – m)2 + 2.( x- m) = 0 ó ( x – m)( x – m + 2) = 0

ó x1 = m ; x2 = m – 2

Để tam thức có 2 nghiệm trái dấu ó x1 ≠ x2 ; x1 . x2 < 0

ó m.(m- 2) < 0 ó 0 < m < 2 (*)

Với 0 < m < 2 => x1 > 0 ; x2 < 0

Vì nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn => |x2| > |x1| ó |x2|2 > |x1|2

ó(x2 – x1)(x2 + x1) > 0ó ( m – 2 – m)( m – 2 + m) > 0 ó 2m – 2 < 0 ó m < 1 (**)

Kết hợp (*) và (**) => 0 < m < 1

Bài 4 : Xét dấu của biểu thức sau h(x) =  x3 – 2x2 – 11x + 12

Trả lời:

Ta có : x3 – 2x2 – 11x + 12 = ( x – 4)(x2 + 2x – 3)

x – 4 = 0 ó x = 4

x2 + 2x – 3 = 0 ó x = 1 hoặc x = -3

Ta có bảng xét dấu :

Vậy h(x) > 0 ó x (-3; 1)  ( 4; +)

        h(x) < 0 ó x (-; -3)  ( 1; 4)