Đáp án Toán 11 kết nối tri thức Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (P1)

BÀI 9. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO CÁC XU THẾ TRUNG TÂM

1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo...

Đáp án:

1. a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:

1. b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.
2. c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

- Thời gian tự học dưới  giờ, ta chọn giá trị đại diện là  giờ, tần số tương ứng là 5.

- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là , tần số tương ứng là 15.

- Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là  tần số tương ứng là 8.

- Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2.

=> Số trung bình là:

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Bài 2: Tìm hiểu thời gian xem...

Đáp án:

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là . Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là

 (giờ).

2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của...

Đáp án:

Ta có: cỡ mẫu , là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu. Mà  thuộc  nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm

Bài 2: Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng...

Đáp án:

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi x₁, x₂, ..., x₂₀₀ là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là: . Do 2 giá trị  thuộc nhóm  (Vì  nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó:

Ta có:

3. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với mẫu số liệu ghép nhóm cho...

Đáp án:

Vì  nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó:

, mà  thuộc nhóm  nên tứ phân vị thứ nhất  thuộc nhóm

 Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy  nên . Ta có: , do đó  thuộc nhóm  nên tứ phân vị thứ ba  thuộc nhóm

Bài 2: Tìm tứ phân vị thứ nhất...

Đáp án:

Cỡ mẫu là

Tứ phân vị thứ nhất  là . Do  đều thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó, . Ta có:

Tứ phân vị thứ ba  là . Do  đều thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó, . Ta có:

4. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với số liệu cho trong Luyện tập...

Đáp án:

1. a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.
2. b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là ; độ dài của nhóm .

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng:

Bài 2: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu...

Đáp án:

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm

Ta có, . Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Bài 3: Hãy tính các số đặc...

Đáp án:

Ta có:

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

+) Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số khách hàng là . Số trung bình là:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là

- Gọi  là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là . Do  thuộc nhóm  nên nhóm này chứa trung vị. Do đó,  và ta có:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu gốc thành hai phần, mỗi phần chứa  giá trị. Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất  là . Do  thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó,

 và ta có:

- Tứ phân vị thứ ba  là . Do  thuộc nhóm  nên nhóm này chứa . Do đó,  và ta có:

- Tứ phân vị thứ hai

Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm . Ta có . Do đó

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.