BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 3

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài tập 8 trang 89 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC...

Đáp án:

1. a) 

+ Ta có: AE=EF=FC nên AE=EF=FC=13AC (1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra AO=CO=12AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra CFCO=13AC12AC=23

Hay CF=23CO

+ Xét ∆BCD có:

 CO là trung tuyến của tam giác 

mà CF=23CO 

F là trọng tâm của ∆BCD.

Do đó BF hay BM cũng là đường trung tuyến của ∆BCD.

M là trung điểm của CD.

+ CMTT đối với ∆ABD ta có E là trọng tâm của tam giác.

Do đó DE hay DN cũng là đường trung tuyến của ∆ABD.

N là trung điểm của AB.

1. b) 

+ Do M là trung điểm của CD (câu a)  MC=MD=12CD

         N là trung điểm của AB (câu a) nên NB=NA=12AB

Mà {AB = CD AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra {NB = MD NB = MD  

Xét tứ giác BMDN có:

{NB = MD NB = MD

Do đó BMDN là hình bình hành.

{BM // DN BM = DN  

+ Ta có E là trọng tâm của ∆ABD nên EN=13DN

          F là trọng tâm của ∆BCD nên FM=13BM 

Mà DN = BM (cmt) 

EN = FM.

+ Xét tứ giác EMFN có:

 {EN = FM EN // FM (do BM // DN)

EMFN là hình bình hành.

Bài tập 9 trang 89 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB...

Đáp án:

1. a) + Do ∆ABC cân tại A 

{ABC=ACB AB = AC  

Vì AB = AC A nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là trung điểm của BC H nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó AH là đường trung trực của BC AH⊥BC.

+ Xét ∆AHB vuông tại H có:

 HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB 

Do đó HD=DB=DA=12AB

+ Tam giác DBH có DB = DH nên là tam giác cân tại D

Suy ra DBH=DHB hay ABC=DHB

Mà ABC=ACB (cmt) 

 DHB=ACB

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DH // AC.

+ Xét tứ giác ADHC có:

 DH // AC 

ADHC là hình thang.

1. b) Do E là điểm đối xứng với H qua D 

D là trung điểm của HE.

Xét tứ giác AHBE có:

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của HE

Mà AB cắt HE tại D

AHBE là hình bình hành.

Mà  AHB=90° (do AH⊥BC) 

hình bình hành AHBE là hình chữ nhật.

1. c) 

+ Do AHBE là hình chữ nhật AH // BE hay MH // NE

Suy ra MHD=NED (so le trong).

+ Xét ∆MHD và ∆NED có:

MHD=NED (cmt);

DH = DE (do E là điểm đối xứng với H qua D);

HDM=EDN (đối đỉnh).

Do đó ∆MHD = ∆NED (g.c.g)

  DM = DN (hai cạnh tương ứng).

Hay D là trung điểm của NM.

+ Xét tứ giác AMBN có:

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của NM

AB cắt NM tại D 

AMBN là hình bình hành.

Bài tập 10 trang 89 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của...

Đáp án:

1. a) + Xét ∆ABC vuông tại A có:

 AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 

Suy ra AE=EB=EC=12BC

+ Vì EA = EC E nằm trên đường trung trực của AC.

Vì N là trung điểm của AC N nằm trên đường trung trực của AC.

⇒ EN là đường trung trực của đoạn thẳng AC EN⊥AC

Ta có: {BAAC ENAC BA // EN.

+ Xét tứ giác ANEB có: BA // EN ANEB là hình thang

Mà BAN=90° 

hình thang ANEB là hình thang vuông.

1. b) Vì EA = EB E nằm trên đường trung trực của AB.

Vì M là trung điểm của AB M nằm trên đường trung trực của AB.

EM là đường trung trực của AB EM⊥AB, 

hay AME=90°

Xét tứ giác ANEM có:

MAN=90° 

ANE=90°

Mà AME=90°

⇒ ANEM là hình chữ nhật.

1. c) 

+ Xét tứ giác BMFN có:

{FM // BN MB // NF (do AB // EN)

BMFN là hình bình hành.

Do đó MB = NF.

Mà AM = MB (do M là trung điểm AB) 

 AM = EN (do ANEM là hình chữ nhật)

Do đó EN = NF hay N là trung điểm của EF.

+ Xét tứ giác AFCE có:

N là trung điểm của AC 

N  là trung điểm của EF 

Mà AC cắt EF tại N ⇒ AFCE là hình bình hành.

Lại có EFAC AFCE là hình thoi.

1. d) + Do AFCE là hình thoi (câu c) AF // CE và AF = CE.

CMTT câu c, ta cũng có ADBE là hình thoi

{AD // BE AD = BE  

+ Ta có {AF // BC do AF // CE AD // BC do AD // BE

theo tiên đề Euclid ta có: AD và AF trùng nhau hay ba điểm F, A, D thẳng hàng   (1)

+ Ta có {AF = CE AD = BE  

Mà CE = BE (do E là trung điểm của BC)

AF = AD (2)

Từ (1) và (2) ta có A là trung điểm của DF.