Đáp án Toán 8 chân trời sáng tạo Chương 3: Bài tập cuối chương 3 (P2)

Bài tập 11 trang 89 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD...

Đáp án:

1. a) + Do ABCD là hình bình hành 

{AB = CD AB // CD  

Vì E là trung điểm của AB nên EA=EB=12AB

     F là trung điểm của CD nên FC=FD=12CD

Mà AB = CD (cmt).

Do đó EA=EB=FC=FD.

+ Xét tứ giác AECF có:

{EA = FC EA // FC (do AB // CD)

AECF là hình bình hành.

1. b) Xét tứ giác AEFD có:

 {AE = DF AE // DFdo AB // CD

AEFD là hình bình hành.

Mặt khác AB = 2AD  AD=AE=12AB

Khi đó hình bình hành AEFD là hình thoi.

1. c) Do AEFD là hình thoi (câu c) nên ta có:

+ AFDE  EIF=90°

+ ED là đường phân giác của góc AEF  DEF=12AEF

CMTT câu c ta cũng có tứ giác BEFC là hình thoi

BF⊥CE suy ra EKF=90°

+ EC là đường phân giác của góc BEF  CEF=12BEF

Ta có:IEK=DEF+CEF=12AEF+12BEF=12AEF+BEF 

Mà AEF+BEF=180° (hai góc kề bù)

Suy ra IEK=DEF+CEF=12.180°=90°

+ Xét tứ giác EIFK có:

 {EIF=90° EKF=90° IEK=90°

  EIFK là hình chữ nhật.

1. d) Theo câu c, tứ giác EIFK là hình chữ nhật

Do đó để tứ giác EIFK là hình vuông thì IE = IF   (1)

Xét hình thoi AEFD có:

I là trung điểm của AF

I là trung điểm của DE

 AF cắt DE tại I

{IA = IF ID = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA = ID

Xét ∆IAD có:

 IA = ID 

⇒∆IAD cân tại I (DHNB)

Mà AID=90° (do AF⊥DE)

  ∆IAD vuông cân tại I

Suy ra IAD=45°

Mặt khác AEFD là hình thoi (câu c)

  AF là đường phân giác của góc EAD

Suy ra EAD=2IAD=2.45°=90°

Hay BAD=90°

Vậy để tứ giác EIFK là hình vuông thì hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện BAD=90°hay ABCD là hình chữ nhật.

Bài tập 12 trang 89 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD...

Đáp án:

1. a) + Do ABCD là hình bình hành 

{AB // CD AD // BC  

Ta có: {ABCE MNCE AB // MN

Mà AB // CD 

MN // CD.

Xét tứ giác MNCD có:

{MN // CD MD // CNdo AD // BC

MNCD là hình bình hành.

+ Ta có: M là trung điểm của AD 

MA=MD=12AD

 hay AD=2MD

Mà AD=2AB

 AB = MD

Mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

Do đó MD = CD.

+ Hình bình hành MNCD có MD = CD nên MNCD là hình thoi.

1. b) + Do MNCD là hình thoi 

 MD=CD=NC=MN=12AD=12BC (do AD = BD).

Do NC=12BC

  N là trung điểm của BC.

+ Xét ∆EBC vuông tại E có:

 EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 

EN=NB=NC=12BC

+ Do NE = NC N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EC

Hay đường trung trực của EC đi qua N và vuông góc với EC.

Lai có NF⊥EC NF là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

F là trung điểm của EC hay FE = FC.

+ Xét ∆EMF và ∆CMF có:

MFE=MFC=90°

MF là cạnh chung;

FE = FC (cmt).

Do đó ∆EMF = ∆CMF (hai cạnh góc vuông).

Suy ra ME = MC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆EMC có:

 ME = MC 

∆EMC cân tại M.

1. c) + Vì AB // MN (cma)

  AEM=EMF (so le trong)

Ta có ∆EMF = ∆CMF (cmb) 

 EMF=CMF

Do đó AEM=CMF

+ Do MNCD là hình thoi MC là đường phân giác của góc DMN

 CMF=12DMN AEM=CMF=12DMN (1)

+ Do DMNC là hình thoi 

 DMN=DCN (hai góc đối bằng nhau)

Do ABCD là hình bình hành  BAD=DCB (hai góc đối bằng nhau)

Do đó DMN=BAD (2)

Từ (1) và (2) ta có AEM=12BAD 

hay BAD=2AEM