BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và song song với SC và AD.

Giải:

Vì (α) // AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự (α) // SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.

Giải:

Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N và cắt AC tại I

Qua M, I, N vẽ các đường thẳng song song với SA lần lượt cắt SB, SC, SD tại R, Q, P.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không?

Giải:

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD nên MN, NP, MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, ACD, ABD

⇒ MN//BC, NP//CD, PM //BD

Mà BC, CD, BD thuộc (BCD)

MN, NP, PM không thuộc (BCD)

⇒ Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD)

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Trên BC lấy M sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).

Giải:

Gọi I là trung điểm AD.

Trong tam giác CBI có  theo giả thuyết và tính chất trọng tâm)

Nên MG // CI (Định lý Ta – lét)

Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD)

Vậy MG // (ACD).

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

1. a) Chứng minh MN // (BCD).
2. b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mặt phẳng (ABC).

Giải:

1. a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra MN // BC

Mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD)

Vậy MN // (BCD).

1. b) Vì MN // (BCD)

Nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d đi qua D và song song với MN.

Mà MN nằm trong (ABC)

Do đó d // (ABC).

Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ = PQ ⇔ AB = CD

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

1. a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
2. b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp (MNP)

Giải:

1. a) Ta có

Ta có

1. b) Ta có

Gọi Q = AC ∩ MN 

Khi đó Q là trung điểm của AC.

Do đó SC // PQ (T/c đường trung bình trong tam giác SAC) mà PQ ⊂ (MNP) 

Vậy SC // (MNP)

Câu 2: Cho hình chóp  có đáy  là một hình bình hành. Gọi  là trọng tâm tam giác ,  là trung điểm của  và  là điểm trên cạnh  sao cho .

1. a) Đường thẳng đi qua và song song với cắt  tại . Chứng minh
2. b) Chứng minh .

Giải:

1. a) Ta có ,

,

mà   .

1. b) Gọi là giao điểm của và

Ta có

, .

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi  và  lần lượt là trọng tậm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng  song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)

Giải:

Gọi I là trung điểm CD

Vì  là trọng tâm của tam giác ACD nên  ∈ AI

Vì  là trọng tâm của tam giác BCD nên ∈ BI

 Ta có

AB  ⊂ (ABC)

Và AB ⊂ (ABD)

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.

1. a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
2. b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?

Giải:

1. a) Ta có (α) // AC

⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.

Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).

⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).

+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).

+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).

+ (α) ∩ (ACD) = QP.

b)Ta có

Suy ra tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?

Giải:

+ Ta có (α) // AB

⇒ giao tuyến (α) và (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB.

Qua O kẻ MN // AB (M ∈ BC, N ∈ AD)

⇒ (α) ∩ (ABCD) = MN.

+ (α) // SC

⇒ giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua M và song song với SC.

Kẻ MQ // SC (Q ∈ SB).

+ (α) // AB

⇒ giao tuyến của (α) và (SAB) là đường thẳng qua Q và song song với AB.

Từ Q kẻ QP // AB (P ∈ SA).

⇒ (α) ∩ (SAD) = PN.

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tứ giác MNPQ.

Ta có PQ// AB và NM // AB

=> PQ // NM

Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC; tương ứng là trọng tâm các tam giác SAB,SBC

1. a) Chứng minh 
2. b) 
3. c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 

Giải:

1. a) Ta có 
2. b) G1,G2lần lượt là trọng tâm các tam giác SABvà SBC nên

mà 

Vậy 

1. c) Ta có 

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua O, song song với AB và SC.

Giải:

Gọi (P) là mặt phẳng qua O và song song với AB và SC

Ta có 

Tương tự

Trong (ABCD) gọi Q = PO ∩ AD thì thiết diện là tứ giác MNPQ

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

1. a) Chứng minh rằng OG // (SBC)
2. b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB)
3. d) Giả sử I nằm trên đoạn SC sao cho . Chứng minh rằng SA // (BID)

Giải:

1. a) Gọi H là trung điểm của SC, ta có

Từ (1) và (2)

Mà BH ⊂ (SBC) ⇒ OG / / (SBC)

1. b) Gọi M’ là trung điểm của SA

Mặt khác vì BC // AD và  (gt) và BC = MM’ nên tứ giác BCMM’ là hình bình hành

Suy ra CM //BM’, mà BM' ⊂ (SAB) ⇒ CM / / (SAB)

1. c) Ta có nên

Mặt khác vì nên

 và

Câu 2: Cho hình chóp ,  và  là hai điểm thuộc cạnh  và ,  là mặt phẳng qua  và song song với .

1. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi .
2. b) Tìm điều kiện của để thiết diện là một hình thang.

Giải:

1. a) Ta có

.

Trong  gọi

Vậy

Từ đó ta có .

Thiết diện là tứ giác .

1. b) Tứ giác là một hình thang khi hoặc .

Trường hợp 1

Nếu  thì ta có  

Mà  (vô lí).

Trường hợp 2

Nếu  thì ta có các mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là  nên

Đảo lại nếu thì  

 nên tứ giác  là hình thang.

Vậy để tứ giác  là hình thang thì điều kiện là .

Câu 3: Cho hai hình bình hành  và  không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là  và .

1. a) Chứng minh song song với các mặt phẳng và .
2. b) Gọi lần lượt là hai điểm trên các cạnh sao cho . Chứng minh  song song với .

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh  nên

.

Tương tự,  là đường trung bình của tam giác  ứng với cạnh  nên ,

1. b) Trong , gọi

Do  nên .

Lại có .

Mà .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh  và tam giác  đều. Một điểm  thuộc cạnh  sao cho , mặt phẳng đi qua  song song với  và .

1. a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .
2. b) Tính diện tích thiết diện theo và .

Giải:

1. a) Ta có

.

Tương tự  

Trong  gọi , thì ta có

.

Thiết diện là tứ giác .

1. b) Do

Lại có . Từ  và  suy ra  

Mà .

Ba mặt phẳng  và  đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là  với .

Vậy  là hình thang.

Ta có , mà .

Do đó  là hình thang cân.

Từ ,

,

Gọi là trung điểm của  thì

.

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’ a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’

1. b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M
2. c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’)
3. d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

Giải:

1. a) MM’ // BB’ và MM’ = BB’ =>MM’ // AB và MM’ = AB (hình lăng trụ)

Suy ra tứ giác AA’M’M là hình bình hành => AM // A’M’

1. b) Gọi I = A'M ∩ AM' . Ta có
2. c)
3. d)

Ta có

Mà OC’, AM’ là trung tuyến tam giác AB’C’

Vậy G là trọng tâm của tam giác AB’C’