BÀI 5: HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình lăng trụ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A’’, B’’, C’’. Chứng minh rằng ABC.A”B”C” là hình lăng trụ.

Giải:

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ đôi một song song nên AA”, BB”, CC” đôi một song song. Mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (A”B”C”) nên ABC.A”B”C” là hình lăng trụ.

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

Giải:

Ta có M, M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C', BCC'B' là hình bình hành suy ra MM' // CC'

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đôi một song song nên AA'//CC'

Mặt phẳng ((AMC) //(A'M'C') nên AMC. AM'C' là hình lăng trụ

Câu 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Chứng minh rằng các đường chéo AC’, BD’, CA’ và DB’ của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Giải:

Đáy ABCD của hình hộp là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. Mặt bên BCC’B’ của hình hộp là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’ .

Vậy AD // B’C’ và AD = B’C’, suy ra ADC’B’ là hình bình hành.

Do đó AC’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự, AC’ và BD’; AC’ và CA’ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy bốn đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm mỗi đường.

Câu 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADDA') và (BCC'B') song song với nhau.

Giải:

Ta có: ABCD là hình bình hành suy ra AD // BC suy ra AD // (BCC'B')

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp suy ra DD'//CC' suy ra DD' // (BCC'B')

(ADD'A') chứa cặp cạnh cắt nhau song song với (BCC'B') nên (ADD'A') //(BCC'B')

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC⋅A′B′C′. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA′,BB′,CC′. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Giải:

Giải:

Ta có: ABB'A' là hình bình hành, M, N là trung điểm của AA', BB' nên MN // AC suy ra MN // (ABC).

Tương tự, ta có NP // BC suy ra NP (ABC)

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP song song với mp(ABC) suy ra (MNP) //(ABC).

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A'B'C'D') cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A'', B", C", D". Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B'', C'', D'' là hình gì?

Giải:

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' đôi một song song nên AA", BB", CC" đôi một song song.

Mặt phẳng (ABCD) song song với (A"B"C"D") (do cùng song song với (A'B'C'D')) nên ABCD.A"B"C"D" là hình lăng trụ tứ giác.

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G′lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A′B′C′

1. a) Chứng minh rằng tứ giác AGG‘A’ là hình bình hành.
2. b) Chứng minh rằng AGC.A′G′C′ là hình lăng trụ.

Giải:

1. a) Ta có ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên suy ra AG = A'G'.

Lại có (ABC) // (A'B'C'), giao tuyến của mp(AGG'A') với (ABC) và (A'B'C')  lần lượt là AG, A'G' suy ra AG // A'G'.

Như vậy , tứ giác AGG'A' có AG = A'G', AG // A'G' là hình bình hành.

1. b) AGG'A' là hình bình hành suy ta AA' // GG'

Lại có AA' // CC' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ)

Mặt phẳng (AGC) // (A'G'C') suy ra AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.

Câu 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng (MA’C’) cắt cạnh BC tại N. Tính tỉ số .

Giải:

Do (MA’C’) chứa A’C’, mặt phẳng (ABC) chứa AC, mặt khác A’C’//AC nên giao tuyến của (MA’C’) và đáy (ABCD) là MN thì MN // AC.

Do M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC do đó .

Câu 4: Cho hình lăng trụ . Gọi  là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng  song song với mặt phẳng .

Giải:

Gọi H’ là trung điểm của AB thì ta có:

Do đó

Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (Như hình vẽ). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M'  là hình hộp.

Giải:

+) Ta có: (ABB'A') // (MNN'M'),

Mà

AA'//MM'. Tương tự BB’//MM’.

+) Ta có: ABNM.A'B'N'M' có các cạnh bên đôi một song song, (ABNM) //(A'B'N'M') suy ra ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ.

+) Ta có: (ABB'A') // (MNN'M'),

Mà

 Tứ giác ABNM là hình bình hành (Vì AB // MN, BN// AM).

Do đó ABNM.A'B'N'M' là hình hộp.

Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và một mặt phẳng (α) cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến MN, NP, PQ, QR, RS, SM như Hình vẽ. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác MNPQRS song song với nhau.

Giải:
Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại NP và SR nên NP//SR.

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ADD'A') và (BDD'B') lần lượt tại MS và PQ nên PQ//MS.

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABCD) và (A'B'C'D') lần lượt tại MN và QR nên MN//QR.

Câu 7: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi  và  lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C. Chứng minh  và   chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D', I là giao điểm của AC' và A'C.

Do ACCA' là hình bình hành nên I là trung điểm của A'C.

+)  là trọng tậm tam giác BDA’ nên .

+) Xét tam giác AA'C có A'O là trung tuyến,  nên  là trọng tâm của tam giác AA'C.

Mà I là trung điểm A’C nên .

.

Tương tự có

Vậy  và   chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình lăng trụ tam giác  có các cạnh bên là . Gọi  và  tương ứng là trung điểm của hai cạnh  và .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao điểm của  với mặt phẳng .
c) Tìm giao tuyến của  và .

Giải:

1. a) Ta có và .

Mặt khác  và  nên :

 và

 là hình bình hành

 \

1. b) Ta có :

.

Tương tự :

.

Đặt . Ta có : .

Vậy  là giao điểm của  và mặt phẳng .

1. c) Ta có :

Tương tự :

Vậy .

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi  là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao tuyến  của  và .

Giải:

1. a) Ta có tứ giác là hình bình hành suy ra cắt  tại trung điểm  của mỗi đường.

Do đó  (đường trung bình của tam giác  ).

Mặt khác  nên .

1. b) Ta có :

 là điểm chung của  và ,

mà

nên  và .

Câu 3: Cho hình hộp  có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . Các điểm  lần lượt trên  sao cho  .

1. a) Chứng minh khi biến thiên, đường thẳng luôn song song với một mặt phẳng cố định.
2. b) Chứng minh khi thì .

Giải:

1. a) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Gọi  là mặt phẳng qua  và song song với . Giả sử  cắt  tại điểm .

Theo định lí Thales ta có

Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh  nên .

Từ  ta có , mà .

Mà .

Vậy  luôn song song với mặt phẳng cố định .

1. b) Gọi . Ta có

 suy ra  là trọng tâm của tam giác .

Tương tự  là trọng tâm của tam giác .

Gọi  là trung điểm của  ta có .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình hộp . Trên cạnh  lấy điểm  khác  và . Gọi  là mặt phẳng đi qua  và song song với mặt phẳng . Đặt . Tìm  để hình tạo bởi các giao tuyến các mặt của hình hộp với mặt phẳng  có diện tích lớn nhất.

Giải:

Ta có:

Ta dựng

Dựng  (xem hình vẽ)

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Giả sử , tứ giác  đều là các hình thang cân.

Ta có:

+)

+)

Ta có:

Tương tự ta có:

Do đó diện tích là  đạt giá trị lớn nhất khi .

Câu 2:

Cho hình lập phương  cạnh . Gọi  là trung điểm của  là tâm hình vuông . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (ABCD), (A’ABB’), (A’D’DA), (CDD’C’) với mặt phẳng .

Giải:

Gọi  thì  là trung điểm của , nối  cắt  và  lần lượt tại các điểm  và . Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Do  nên  là trọng tâm tam giác  nên

Ta có:

Lại có:  nên

(Áp dụng hệ thức Herong cho tam giác EGC)

Suy ra .