Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 2 (P1)
Bộ câu hỏi tự luận toán 11 cánh diều. Câu hỏi và bài tập tự luận Bài tập file word toán 11 cánh diều Ôn tập chương 2(P1). Giá trị lượng giác của góc lượng giác . Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 11 cánh diều
ÔN TẬP CHƯƠNG 2. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN (PHẦN 1)
Bài 1: Cho một cấp số cộng có u1 = −1 và u5 = 11. Tìm công sai của cấp số cộng ?
Trả lời:
Ta có: u5 = u1 + (5−1)d
=> 11 = − 1 + 4d ⇔ d= 3
Bài 2: Cho một cấp số cộng có u1 = 10; u7 = −8. Tìm d?
Trả lời:
Ta có: u7 = u1 +(7−1)d
=> −8 = 10 + 6d
⇔ −18 = 6d nên d = −3
Bài 3: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 0,4 và công sai d = 1. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng này là bao nhiêu?
Trả lời:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: un = u1 + (n − 1) d
=>số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:
u10 = 0,4 +(10 − 1) . 1 = 9,4
Bài 4: Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là bao nhiêu?
Trả lời:
un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1
= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2
Bài 5: a) Cho dãy số xác định bởi
. Xác định bốn số hạng đầu của dãy số .
b) Cho dãy số xác định bởi và . Viết năm số hàng đầu của dãy số.
Trả lời:
a) .
b)
Bài 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy số
a)
b)
c)
Trả lời:
Bài 7: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.
Trả lời:
Ta có
Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số là một cấp số nhân với công bội .
Bài 8: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? Dãy nào không phải cấp số nhân? Giải thích?
a) Dãy số , với b) Dãy số , với
c) Dãy số , với d) Dãy số , với
Trả lời:
a) Ba số hạng đầu của dãy số là 1, 4, 9. Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.
b) Ta có nên (là số không đổi). Do đó, phải là cấp số nhân với công bội .
c) Ta có nên (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).
Do đó không phải là một cấp số nhân.
d) Ba số hạng đầu của dãy số là Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.
Bài 9: a) Tính tổng
b) Cho cấp số nhân có và công bội . Tìm k, biết .
Trả lời:
a) Ta có dãy số lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Cấp số nhân này có 13 số hạng. Do đó
b) Ta có
Theo giả thiết, ta có
Bài 10: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:
.
Trả lời:
Vì
Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số là một cấp số cộng với công sai
Bài 11: Cho cấp số cộng có và .
a) Tìm .
b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Trả lời:
a) Ta có
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
Vì nên
Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.
Bài 12: a) Xét tính bị chặn của dãy số , với .
b) Xét tính bị chặn của dãy số , với .
Trả lời:
a) Ta có nên là một dãy số tăng.
Suy ra nó bị chặn dưới bởi .
Lại do nên dãy số bị chặn trên bởi 1.
Vậy dãy bị chặn.
b) Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
Bài 13: Cho dãy số với . Tìm a để dãy số là dãy tăng.
Trả lời:
Ta có
Xét hiệu
là dãy tăng khi và chỉ khi
Bài 14: Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Viết 6 số hạnh đầu của cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.
Trả lời:
Ta có
Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
Bài 15: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết
25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?
Trả lời:
Kí hiệu là số hạt dẻ ở ô thứ .
Khi đó, ta có và .
Dãy số là cấp số cộng với và công sai nên có .
Theo giả thiết, ta có .
Suy ra bàn cờ có 100 ô.
Bài 16: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.
Trả lời:
Kí hiệu là mức lương của quý thứ làm việc cho công ty. Khi đó và .
Dãy số lập thành cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .
Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.
Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là
(triệu đồng).
Bài 17: Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
Trả lời:
Đặt khi đó .
Từ hệ thức truy hồi suy ra .
Như vậy ta có .
Ta có ; .
Nhận thấy , suy ra .
(Có thể chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp).
Vậy số hạng tổng quát
Bài 18: Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
Trả lời:
Đặt khi đó .
Từ hệ thức truy hồi suy ra .
Như vậy ta có .
Ta có ; .
Nhận thấy , suy ra .
(Có thể chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp).
Vậy số hạng tổng quát
Bài 19: Cho dãy số xác định bởi và Tổng
Trả lời:
Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có Suy ra
Do đó
Vậy
Bài 20: Cho cấp số nhân có công bội dương và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
Trả lời:
Gọi là công bội của cấp số nhân,
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi
Ta có
Do đó