Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 3 (P2)

ÔN TẬP CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC (PHẦN 2)

Bài 1: Chứng minh rằng dãy số (u_n ) : u_n = (-1)ⁿ không có giới hạn.

Trả lời:

Ta có: u_2n = 1 ⇒ limu_2n = 1; u_(2n+1) = -1 ⇒ limu_(2n+1) = -1

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (u_n) không có giới hạn.

Bài 2: Chứng minh rằng dãy số (u_n): u_n = (-1)ⁿ không có giới hạn.

Trả lời:

Ta có: u_2n → +∞; u_(2n+1) = -(2n+1) → -∞

Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.

Bài 3: Tính giới hạn sau:

Trả lời:

Ta có:

Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số  tại x = 2.

Trả lời:

Ta có:

.

.

.

Vậy hàm số liên tục tại .

Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số tại x = -2

Trả lời:

.

Vậy nên hàm số liên tục tại .

Bài 6: Tính giá trị giới hạn sau

a)

b)

Trả lời:

a)

b)

Bài 7: Tính giới hạn

a)

b)

Trả lời:

a) Với mọi dãy  ta có:

b)

Bài 8: a) Tính

b) Cho hàm số . Tính

c) Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi

. 

 

Trả lời:

a) Do . Nên: .

b) Ta có

Vì  nên .

c) Ta có:

.

Hàm số có giới hạn khi . Vậy  là giá trị cần tìm.

Bài 9: Tính giá trị giới hạn sau bằng định nghĩa

a) 

b)

Trả lời:

a) Với  nhỏ tùy ý, ta chọn  ta có  nên có

b) Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn  thỏa

.

Ta có:

Vây .

Bài 10: Tính giá trị giới hạn sau bằng định nghĩa

a)

b)

Trả lời:

a) Với mọi  nhỏ tùy ý, ta chọn

Suy ra .

b) Với mọi  lớn tù̀ ýg, ta chọn

Ta có:

Suy ra .

Bài 11: Tính giá trị

a)

b)

Trả lời:

a) Ta có.

b) Ta có:

Bài 12: Tính giới hạn

a)

b)

c)

Trả lời:

a) 
 

b) 
 

.

c)

Bài 13: a) Tìm a để hàm số sau có giới hạn x  0 với

b) Tìm  để hàm số  có giới hạn tại .

Trả lời:

a) Ta có .

b) Ta có:

Vậy .

Bài 14: Tính giới hạn

a)  

b)

c)

Trả lời:

a)

b)

c)

Bài 15: Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.

Trả lời:

Ta có:  và

Suy ra  

Vậy hàm số không liên tục tại .

Bài 16: Cho hàm số  và với . Giá trị của để  liên tục tại là:

Trả lời:

Hàm số liên tục tại .

Ta có

 .

Vậy

.

Bài 17: Tìm các giá trị của  để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

a)

b)

Trả lời:

a) Hàm số  liên tục với .

Do đó liên tục trên  liên tục tại    

Ta có

Khi đó .

b) Ta có:

Từ yêu cầu đề bài:

Bài 18: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

Trả lời:

Xét . Phương trình có dạng  nên PT có nghiệm

Với  giả sử

 liên tục trên R nên  liên tục trên

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số .

Bài 19: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Trả lời:

Đặt .

Xét hàm số  liên tục trên .

Ta có:

 tồn tại 3 số và  lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là  và  sao cho  và do đây là phương trình bậc 3 nên  có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ứng với mỗi giá trị và  ta tìm được duy nhất một giá trị  thỏa mãn  và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Bài 20: Tìm giới hạn

Trả lời:

Ta có:

Đặt . Khi đó:

.

Do đó: .