Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 4 (P2)

ÔN TẬP CHƯƠNG 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG (PHẦN 2)

Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu của A'B qua phép chiếu song song theo phương CB' trên mặt phẳng ABD là đoạn nào?

Trả lời:

Xét phép chiếu theo song song theo phương CB′ lên mặt phẳng (ABD).

Ta có: B ∈ (ABD) nên hình chiếu của B qua phép chiếu là chính nó.

Lại có: A′D // CB′ nên hình chiếu của A′ qua phép chiếu là điểm D.

Do đó hình chiếu của A′B qua phép chiếu là BD.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào?

Trả lời:

Gọi E là trung điểm của AB.M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:

Theo định lí Ta-lét ta có MN // CD. Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào?

Trả lời:

+ Giả sử N là ảnh của M theo phép chiếu song song theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) + Giả sử N là ảnh của M theo phép chiếu song song theo phương AB lên mặt phẳng (SAD)

 + Suy ra : MN// AB mà AB // CD + Suy ra : MN// AB mà AB // CD

⇒ MN // CD

Do M là trung điểm của SC nên N là trung điểm của SD

Bài 4:

a) Vẽ hình biểu diển của một tứ diện và trọng tâm của nó.

b) Vẽ hình biểu diễn của tam giác vuông nột tiếp trong đường tròn.

Trả lời:

a) Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì trung điểm G của MN sẽ biểu diễn cho trọng tâm của tứ diện.

b) Vẽ elip tâm O là hình biểu diễn của đường tròn đã cho. Lấy hai điểm A và B là hai điểm trên elip sao cho B, C, O thẳng hàng và một điểm A thuộc elip sao cho A khác với B và C. Khi đó, tam giác ABC là hình biểu diễn của một tâm giác vuông nội tiếp trong một đường tròn.

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên AO. Gọi I, J là hai điểm trên BC, BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD).

Trả lời:

Do K là giao điểm của IJ và CD nên K ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (1)

Ta có F là giao điểm của ME và AH

Mà AH ⊂ (ACD) , ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MIJ) ∩ (ACD) = KF

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác ,  là một điểm trên cạnh ,  là trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

Trả lời:

Trong mặt phẳng  gọi .

Trong  gọi  và .

Ta có

.

Do đó .

Vậy

Bài 7: Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Trả lời:

a)    Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABD nên ta có

Tương tự ta cũng có

Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

b)    Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có

Suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN .

Vậy ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và song song với SC và AD.

Trả lời:

Vì (α) // AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự (α) // SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a) Chứng minh MN // (BCD).

b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra MN // BC

Mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD)

Vậy MN // (BCD).

b) Vì MN // (BCD)

Nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d đi qua D và song song với MN.

Mà MN nằm trong (ABC)

Do đó d // (ABC).

Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ = PQ ⇔ AB = CD

Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình lăng trụ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A’’, B’’, C’’. Chứng minh rằng ABC.A”B”C” là hình lăng trụ.

Trả lời:

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ đôi một song song nên AA”, BB”, CC” đôi một song song. Mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (A”B”C”) nên ABC.A”B”C” là hình lăng trụ.

Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADDA') và (BCC'B') song song với nhau.

Trả lời:

Ta có: ABCD là hình bình hành suy ra AD // BC suy ra AD // (BCC'B')

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp suy ra DD'//CC' suy ra DD' // (BCC'B')

(ADD'A') chứa cặp cạnh cắt nhau song song với (BCC'B') nên (ADD'A') //(BCC'B')

Bài 12: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Trên BC lấy M sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).

 Trả lời:

Gọi I là trung điểm AD.

Trong tam giác CBI có theo giả thuyết và tính chất trọng tâm)

Nên MG // CI (Định lý Ta – lét)

Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD)

Vậy MG // (ACD).

Bài 13: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.

a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?

 Trả lời:

a) Ta có (α) // AC

⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.

Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).

⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).

+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q  + Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).

+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P  + (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).

+ (α) ∩ (ACD) = QP. + (α) ∩ (ACD) = QP.

c)    Ta có

Suy ra tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC;tương ứng là trọng tâm các tam giác SAB,SBC

a) Chứng minh 

b) 

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 

Trả lời:

a)    Ta có 

b) G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SBC nên

mà 

Vậy

d)    Ta có 

Bài 15: Cho hình chóp ,  và  là hai điểm thuộc cạnh  và ,  là mặt phẳng qua  và song song với .

a) Xác định thiết diện của hình chóp  khi cắt bởi.

b) Tìm điều kiện của  để thiết diện là một hình thang.

Trả lời:

a)    Ta có

.

Trong  gọi

Vậy

Từ đó ta có .

Thiết diện là tứ giác .

b) Tứ giác  là một hình thang khi  hoặc .

Trường hợp 1

Nếu  thì ta có  

Mà  (vô lí).

Trường hợp 2

Nếu  thì ta có các mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là  nên

Đảo lại nếu thì  

 nên tứ giác  là hình thang.

Vậy để tứ giác MNPQ là hình thang thì điều kiện là MN//BC.

Bài 16: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và , lấy điểm .
a) Tìm giao tuyến  và .
b) Tìm giao điểm  và .
c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt bên của hình chóp và mặt phẳng (MNP) là hình gì?
d) Gọi . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Do  song song với  nên giao tuyến của  và  là đường thẳng  đi qua  và song song với  và .

b) Trong măt phẳng , kéo dài  cắt  tại , trong mặt phẳng , kéo dài  cắt  tại , giao điểm của  và  là .

c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt hình chóp và mặt phẳng (MNP) là tứ giác .

Do 3 mặt phẳng  cắt nhau theo 3 giao tuyến là  nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác  là hình thang.

d) Ta có:  là đường trung bình trong tam giác .

Tương tự ta có: .

Mặt khác .

Bài 17: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Gọi  là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và .
d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và .

Trả lời:

a) Ta có  là đường trung bình của hình bình hành  nên .

Lại có  là đường trung bình tam giác .

Từ  và  suy ra .

b) Gọi  là trung điểm của  thì .

Mặt khác  là đường trung bình của tam giác  nên .

Ta có .

c) Trong mặt phẳng  gọi .

Ta có:  nên giao tuyến của hai mặt phẳng  và  song song với .

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng  và  là đường thẳng đi qua  và song song Với .

d) Gọi  là trung điểm của  thì  (tính chất đường trung bình)

Suy ra  đồng phẳng.

Trong mặt phẳng  gọi .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng  và  là .

Bài 18: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang với đáy lớn là . Một mặt phẳng quay quanh  cắt  các cạnh  tại các điểm tương ứng .

a) Tìm tập hợp  giao điểm của   và .

b) Tìm tập hợp  giao điểm của   và .

Trả lời:

a) Phần thuận:

Ta có

, .

Trong (ABCD) gọi

 .

.

Giới hạn:

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Phần đảo:

Lấy điểm  bất kì thuộc đoạn , trong gọi , trong  gọi  khi đó  là mặt phẳng quay quanh  cắt các cạnh  tại  và  là giao điểm của  và .

Vậy tập hợp điểm  là đoạn .

b) Ta có

 Nhưng

  nên .

Khi  chạy đến chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm  là đoạn .

Bài 19: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2 KD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện đó.

 Trả lời:

a) Do IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ / / AB  và  

Do IJ / / AB nên giao tuyến của (IJK) với mặt phẳng ( ABD) song song với AB.

Qua K dựng KN / / AB với N Î AD  thì thiết diện là tứ giác IJKN có IJ / / KN

Þ IJKN là hình thang.

b) Ta có

Lại có

Tương tự

Chiều cao của hình thang cân IJKN là

Diện tích thiết diện là

Bài 20: Cho hình chóp S ABCD. Đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I J, lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC.

a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD)

b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng ( ADJ ) và (BCI ) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB)và (SCD).

Trả lời:

a) Do AD / / BC nên giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) là đường thẳng qua J và song song với BC

Tương tự giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD) là đường thẳng qua I và song song với AD

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC. JF, JE cắt nhau tại G

Qua J kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC tại H, K

Do AD / / BC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) là đường thẳng qua G và song song với BC.

Qua G kẻ đường thẳng song song với HK cắt AH, DK tại L, M

Giao tuyến (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đoạn thẳng LM

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng I, G, F và tam giác SJE ta có

Gọi N = JM Ç AD

Do đó