CHƯƠNG 8: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

(25 câu)

1. NHẬN BIẾT (11 câu)

Câu 1: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại và . 

1. a) Chứng minh .
2. b) Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh .

Hướng dẫn giải:.

1. a) Ta có nên .

Do đó Chọn A

1. b) Ta có

Vậy .Chọn B

Câu 2: Cho tứ diện có và . Chứng minh .

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có .

Câu 3: Cho hình chóp có và Số các mặt của tứ diện là tam giác vuông là:

Hướng dẫn giải:

Có là tam giác vuông tại

Ta có là các tam giác vuông tại  

Mặt khác là tam giác vuông tại

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông

Câu 4: Cho tứ diện . Vẽ . Biết là trực tâm tam giác . Chứng minh:

Hướng dẫn giải::

Câu 5: Cho tứ diện có và Chứng minh :

Hướng dẫn giải:

Câu 6: Cho tứ diện có và . Chứng minh : .

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có 

.

Câu 7: Cho tứ diện . Vẽ . Biết là trực tâm tam giác . Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Do .

Mặt khác, là trực tâm nên . 

Suy ra nên .

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Chứng minh: và ,

Hướng dẫn giải:.

1. a) Vì là trung điểm của và tam giác đều nên

Lại có

Do đó

vuông tại

Vậy .

1. b) Ta có và

.

Tương tự ( như bài 32) và .

Câu 9: Cho tứ diện có cạnh , , bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Tìm Góc giữa và .

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có .

Do đó . 

Câu 10: Cho tam giác vuông cân tại và . Trên đường thẳng qua vuông góc với lấy điểm sao cho . Tính số đo góc giữa đường thẳng và .

Hướng dẫn giải:

.

Câu 11: Cho tứ diện có cạnh vuông góc với nhau từng đôi một. Tìm góc giữa và

Hướng dẫn giải:

Do vuông góc với nhau từng đôi một nên , suy ra là hình chiếu của lên .

2. THÔNG HIỂU ( 5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, Gọi lần lượt là các đường cao của tam giác và tam giác Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy:

Tương tự :

Từ

Câu 2: Cho hai hình chữ nhật và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Gọi và lần lượt là đường cao của hai tam giác và . Chứng minh rằng :

1. a) và vuông ?
2. b) Chứng minh : ;

Hướng dẫn giải:.

1. a) Ta có

..

Vậy

,hay vuông tại .

Tương tự

vuông tại .

1. b) Ta có , mặt khác .

Tương tự .

Câu 3: Cho hình lập phương . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Từ  

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình thoi, là giao điểm của 2 đường chéo và . Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Ta có: là tam giác cân

Mặt khác: là trung điểm của (tính chất hình thoi)

Khi đó ta có:  

Câu 5: Cho hình hộp Có đáy là hình thoi và Gọi Gọi H là hình chiếu của trên , chứng minh H là trọng tâm ABD

Hướng dẫn giải:

Vì hình chiếu của trên trùng với là tâm đường tròn ngoại tiếp  

Mà tứ giác là hình thoi và nên là tam giác đều

Từ & là trọng tâm

3. VẬN DỤNG ( 7 câu)

Câu 1: Cho tứ diện thoả mãn Gọi là hình chiếu của lên mp Đối với ta có điểm là ?

Hướng dẫn giải:

Xét ba tam giác vuông có

chính là tâm đường tròn ngoại tiếp  

Câu 2: Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc. Gọi là hình chiếu của lên Chứng minh : 

Hướng dẫn giải:

{OA⊥OB OA⊥OC ⇒OA⊥OBC⇒OA⊥BC

Tương tự chứng minh được  

Hạ  

Ta có:

1OH2=1OA2+1OI2=1OA2+1OB2+1OC2 

Câu 3: Cho hình chóp có . Gọi lần lượt là trực tâm các tam giác và . Chứng minh:

1. a) và đồng qui.
2. b) Chứng minh :
3. c)

 Hướng dẫn giải:.

1. a) Gọi , để chứng minh và đồng qui.

Ta cần chứng minh là đường cao của tam giác , nhưng điều này đúng do và .

1. b) Ta có

thêm nữa ta có

Vậy .

1. c) Theo các chứng minh trên ta có

và do đó .

Câu 4: Cho hình tứ diện có , , đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm cách đều bốn điểm , , , .

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của . 

Từ giả thiết ta có . Vậy vuông tại . 

Do đó (1)

Mặt khác vuông tại .

Do đó (2)

Từ (1) và (2) ta có .

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cạnh huyền . Hình chiếu vuông 

góc của lên trùng với trung điểm. Biết . Tính số đo của góc giữa và .

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của suy ra 

.

Ta có: .

.

Câu 6: Cho hình chóp , đáy là hình vuông cạnh bằng và . Biết . Tính góc giữa và .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

là hình vuông cạnh .

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm của cạnh . Biết tam giác là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa và  

Hướng dẫn giải:

Do là hình chiếu của lên mặt phẳng nên  

 Vậy là hình chiếu của lên mp  

Ta có:

 Mà: . Vậy tam giác vuông cân tại  

4. VẬN DỤNG CAO ( 2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và . Gọi là trọng tâm . Độ dài là:

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra hình chóp là hình chóp tam giác đều. Gọi là trung điểm của , ta có .

Mặt khác ta có:  

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là , khi đó nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

là hình chiếu của trên  

là hình chiếu của trên

Từ

Xét tam giác vuông tại ta có:  

Xét tam giác vuông tại ta có: