CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE. 

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

ÔN TẬP CHƯƠNG

(16 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Bài 1: Cho tứ giác ABCD trong đó A = 730, B = 1120, D = 840. Tính số đo góc C ?

Giải

Xét tứ giác ABCD có: 

         A + B + C + D = 360o (định lí)

Hay 73o + 112o + C + 84o = 360o

C = 360o – 73o – 112o – 84o = 91o

Bài 2: Tính các góc của hình thang cân, biết có một góc bằng 600

Giải

Xét hình thang cân ABCD ( AB//CD ) có D = 600

Theo định nghĩa và giả thiết về hình thang cân ta có: {C=60o A=B  

Do góc A và góc D là hai góc cùng nằm một phía của

AB//CD nên chúng bù nhau hay A + D = 1800.

⇒ A = 1800 - D = 1800 - 600 = 1200.

Do đó A = B = 1200.

Vậy C = D = 600 và A = B = 1200.

Bài 3: : Cho hình bình hành ABCD có A – B = 40o. Xác định số đo góc A và B?

Giải

Theo giả thiết ta có A – B = 40o A = 40o + B

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên A + B = 180o

40o + B + B = 180o

  2B = 140o 

  B = 70o 

A = 70o + 80o = 150o

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có AC = 202cm . Tính diện tích hình vuông?

Giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a.

Suy ra: AB = BC = CD = D = a

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2  (202 )2 = a2 + a2 800 = 2a2 a2 = 400 a = 20

Do đó, diện tích hình vuông đã cho là: S = a2 = 400 cm2

Bài 5: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo, biết AC = 8cm và OB = 3cm. Tính CD?

Giải

Do ABCD là hình thoi nên: AO = OC = 12 AC = 4cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABO ta có:

AB2 = AO2 + OB2 = 42 + 32 = 25 nên AB = 5cm

Vì ABCD là hình thoi nên AB = CD = 5cm

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có A = 700, B = 900. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại O. Tính số đo góc COD ?.

Giải

Áp dụng định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600.

Ta có A + B + C + D = 360o ⇒ C + D= 3600 - ( A + B) = 3600 - ( 700 + 900 )

⇒ C + D = 2000.

Theo giả thiết, ta có OC,OD là các đường phân giác

Khi đó ta có {BCO=OCD CDO=ODA

⇒ C + D = BCO + OCD + CDO+ODA= 2OCD + 2CDO

⇔ 2( OCD + CDO) = 2000 ⇔ OCD + CDO = 1000.

Xét Δ OCD có

OCD + CDO + COD = 1800 ⇒ COD  = 1800 - ( OCD + CDOˆ ) = 1800 - 1000 = 800.

Vậy COD  = 800.

Bài 2: Hình thang vuông ABCD có A = D = 900; AB = AD = 3cm; CD = 6cm. Tính số đo góc B và C của hình thang?

Giải 

Kẻ BE ⊥ CD thì AD // BE do cùng vuông góc với CD

+ Hình thang ABED có cặp cạnh bên song song là hình bình hành.

Áp dụng tính chất của hình bình hành ta có

AD = BE = 3cm.

Xét Δ BEC vuông tại E có

BE = 3cm

EC = CD – DE = 6 – 3 = 3cm

⇒ Δ BEC là tam giác vuông cân tại E.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các hình vuông ADEF và ABGH. Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình vuông ADEF. Chứng minh rằng OH = OC

Giải 

Ta có: OA OD  (tính chất đường chéo hình vuông) ; 

AH DC ( vì AH AB, AB // CD  ). Vậy OAH = ODC (góc có cạnh tương ứng vuông góc).

 Xét ∆OAH và ∆ODC có

OA = OD (tính chất đường chéo hình vuông)

OAH = ODC  ( câu a)

AH = DC (cùng bằng AB )

Vậy ∆OAH = ∆ODC (c.g.c) suy ra OH = OC.

Bài 4: Tìm giá trị của x từ các thông tin trên hình sau?

Giải 

Kẻ BH ⊥ CD, tứ giác ABHD có A = ABH= BHD = 900

⇒ Tứ giác ABHD là hình chữ nhật.

Áp dụng tính chất của hình chữ nhật ta có:

Ta có: CD = DH + HC ⇒ HC = CD - DH = 15 - 10 = 5( cm )

+ Xét Δ BCH, áp dụng định lý Py – to – go ta có:

BC2 = HC2 + BH2 ⇒ BH2 = BC2 - HC2

⇒ BH2 = BC2 - HC2 = 132 - 52 = 144( cm )

Do đó BH = AD = x = 12( cm ). Vậy x = 12

Bài 5: Chứng minh rằng các đường cao của hình thoi bằng nhau. 

Giải

Xét hình thoi ABCD, kẻ hai đường cao AH ⊥ BC, AK ⊥ CD

Ta cần chứng minh: AH = AK.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết của hình thoi ABCD, ta có:

{H=K=90o AB=AD B=D  ⇒ Δ ABH = Δ ADH ( g - c - g )

⇒ AH = AK (cặp cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Bài 1: Cho Δ ABC có A = 500, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC. Tính số đo góc DAE = ?

Giải 

Theo giả thiết ta có:

+ D đối xứng với M qua AB.

+ E đối xứng với M qua AC.

+ A đối xứng với A qua AB, AC.

AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC.

⇒ Áp dụng tính chất đối xứng ta có: {AM=AD AM=AE

⇒ AD = AE

+ A1 đối xứng A2 qua AB

+ A3 đối xứng A4 qua AC.

Áp dụng tính chất đối xứng trục, ta có: {A1=A2 A3=A4

⇒ A1 + A4 = A2 + A3 = 500 ⇒ DAE = 2A = 1000.

Vậy DAE = 1000.

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ kẻ từ B và C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng HE = DK.

Giải

Vì BD, CE là đường cao của tam giác ABC nên {BD ⊥AC  CE ⊥AB  do đó Δ BDC vuông tại D, Δ CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC

⇒ DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ BDC và Δ CEB.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác trên ta được: {DM=12BC EM=12BC

⇒ DM = EM ⇒ Δ MDE cân tại M.

Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI ⊥ DE thì BH//MI//CK  (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE) (1)

Mà ta có BM = MC    (2) (do ta vẽ hình trên)

Từ (1),(2) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK    (3).

Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được:

EI = ID    (4).

Trừ theo vế đẳng thức (3) cho (4), ta được: HE = DK.

Bài 3: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD, biết rằng cạnh bên AD = 5cm, cạnh đáy AB = 6cm và CD = 14cm.

Giải 

Kẻ AH ⊥ CD, BK ⊥ CD thì AH//BK nên hình thang ABKH có hai cạnh bên song song.

Áp dụng tính chất của hình thang ABKH có hai cạnh bên song song, ta có: {AH=BK HK=AB=6cm

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác ADH vuông tại H ta được:

AD2 = DH2 + HA2 hay 52 = 42 + HA2

⇔ AH2 = 32 ⇔ HA = 3( cm ) (vì AH > 0 ).

Vậy chiều cao của hình thang cân là 3cm.

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC.

1. a) Chứng minh rằng BI ⊥
2. b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB.

Giải

Xét Δ BAI và Δ ADK có: {AB=AD AI=DK=12AB=12DA A=D=90o

⇒ Δ BAI = Δ ADK ( c - g - c )

⇒ ABI = DAK (góc tương ứng bằng nhau)

Mà IAE + EAB = 900 ⇒ ABI + EAB = 900 

+ Xét Δ ABE có EAB + ABE + AEB = 1800

⇒ AEB = 1800 - ( EAB + ABE ) = 1800 - 900 = 900 hay AK ⊥ BI (đpcm)

+ Xét tứ giác EBCK có KEB + EBC + BCK + CKE = 3600

⇒ EBC + CKE= 1800.

Mà AKD + AKC = 1800 nên EBC  = EKD 

+ Tứ giác EBCK nội tiếp nên BEC  = BKC 

Mà BKC = AKD nên EBC  = BEC hay tam giác BEC cân tại C

⇒ CE = BC = AB (đpcm)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ AN ⊥ AM (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng

1. a) AM = AN
2. b) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Giải

1. a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD ta được:

{A=B=D=90o A1+A2=A2+A3=A=90o AB=AD {B=D AB=AD A3=A1

⇒ Δ ABM = Δ ADN( g - c - g )

Do đó AM = AN (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

1. b) Ta có IA, IC lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông AMN, CMN.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng vói cạnh huyền của hai tam giác vuông trên và định nghĩa ta có: {IA=IC=12MN AB=BC

Chứng tỏ hai điểm B và I cách đều hai điểm A và C nên BI là đường trung trực của đoạn AC.

Mà theo tính chất của hình vuông thì BD là đường trung trực của AC mà đoạn AC chỉ có một đường trung trực nên BI trung với BD hay B,I,D thẳng hàng.

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên hai cạnh BC, CD lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MAN = 450. Trên tia đối của của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM. Hãy tính chu vi tam giác MCN theo a.

Giải 

Áp dụng định nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD, ta được

{B=D=90o AB=AD,BM=DK  ⇒ Δ ABM = Δ ADK ( c - g - c )

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau và giả thiết, ta có:

{A1=A2=A3=90o A1=A4;A2=45o  ⇒ KAN = A3 + A4 = A1 + A3 = 900 - 450 = 450

Đặt BM = DK = x thì KN = x + DN, MC = a - x, CN = a - DN

Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a và giả thiết ta có:

{AM=AK,AN chung MAN=KAN=45o  ⇒ Δ AMN = Δ AKN ( c - g - c )

⇒ MN = KN (cạnh tương ứng bằng nhau)

Khi đó, chu vi của tam giác MCN là

MC + CN + MN = a - x + a - DN + x + DN = 2a.