Bài tập file word Toán 8 chân trời sáng tạo Ôn tập Chương 3: Định lí Pythagore. Các loại tứ giác thường gặp (P2)

ÔN TẬP CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE.

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP (PHẦN 2)

Bài 1: Tam giác ABC có  = 90º,  = 30º, AB = 3cm. Tính độ dài BC.

Trả lời:

Ta được: AC = 1/2BC

Đặt AC = x thì BC = 2x. Ta có:

AC² + AB² = BC² ⇒ x² + 3² = (2x)²

⇒ x² + 9 = 4x² 

⇒ 3x² = 9

⇒ x² = 3 ⇒ x =  (cm)

BC = 2 (cm).

Bài 2:  Tính các cạnh của một tam giác vuông biết tỉ số các cạnh góc vuông là 3 : 4, chu vi của tam giác bằng 36cm.

Trả lời:

Gọi a và b là độ dài các cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền, đơn vị xentimet.

Bài 3: Chọn trong các số 5, 8, 9, 12, 13, 15 các bộ ba số có thể là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Trả lời:

Ta thấy: 225 = 144 + 81 ⇒ 15² = 12² + 9²

169 = 144 + 25 ⇒ 13² = 12² + 5²

Bộ ba số 9, 12, 15 và bộ ba số 5, 12, 13 có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông.

Bài 4: Cho hình vẽ bên , trong đó BC = 6cm, AD = 8cm. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

Trả lời:

Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD ở E. Ta chứng minh được DE = AB = 3, BE = AD = 8.

Tam giác BCE có BC = 6, BE = 8, CE = 10 nên ta chứng minh được  = 90º.

Bài 5: Cho hình thang  ABCB có  = 1200^o;  = 60^o;  = 135^o. Tính số đo góc C

Trả lời:

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360^o

Khi đó ta có:  +  +  +  = 360^o

  = 360^o – ( +  + )

  = 360^o – (120^o + 60^o + 135^o) = 45^o

Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Biết AD = 3 cm và CD = 4cm. Tính AC?

Trả lời:

Do tứ giác ABCD là hình thang vuông nên  = 90^o

Suy ra, tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Áp dụng đinh lí Py ta go vào tam giác vuông ACD ta có:

AC² = AD² + DC² = 3² + 4² = 25

Suy ra: AC = 5cm

Bài 7: Cho tứ giác ABCB có  = 50^o;  = 150^o;  = 45^o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh B

Trả lời:

Xét tứ giác ABCD có:

          +  +  +  = 360^o (định lí)

Hay 50^o +  + 150^o + 45^o = 360^o

  = 360^o – 50^o – 150^o – 45^o = 115^o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180^o –  = 180^o – 115^o  = 65^o

Bài 8: Cho tứ giác ABCB có  = 65^o;  = 117^o;  = 71^o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D

Trả lời:

Xét tứ giác ABCD có:

          +  +  +  = 360^o (định lí)

Hay 65^o + 117^o + 71^o +  = 360^o

  = 360^o – 65^o – 117^o – 71^o = 107^o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180^o –  = 180^o – 107^o  = 73^o

Bài 9: Cho tứ giác ABCD có tổng số đo góc ngoài tại hai đỉnh B và C là 200⁰. Tổng số đo các góc ngoài tại 2 đỉnh A, C

Trả lời:

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là ; ; ;

Khi đó ta có

 +  = 180^o   = 180^o – ;

 +  = 180^o   = 180^o – ;

 +  = 180^o   = 180^o – ;

 +  = 180^o   = 180^o – ;

Suy ra

 +  +  +  = 180^o –  + 180^o –  + 180^o –  + 180^o –

                        = 720^o – ( +  +  + )

                        = 720^o – 360^o = 360^o

Vậy tổng số đo các góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D là 360^o.

Mà tổng số đo góc ngoài tại hai đỉnh B, C bằng 200^o nên tổng số đo góc ngoài tại hai đỉnh A, D bằng 360^o – 200^o = 160^o.

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AH vuông góc BC. Tính chu vi tam giác ABC biết AC = 20 cm, AH = 12 cm, BH = 5cm

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AB² = BH² + AH² = 5² + 12² = 169 = 13²  AB = 13 cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H, ta có:

AC² = AH² + HC²  HC² = AC² – AH² = 20² – 12² = 156 = 16²  HC = 16 cm

 BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 cm

Chu vi tam giác ABC là AB + BC + AC = 13 + 21 + 20 = 54 cm

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 20 cm; AC = 48 cm. Tính đường cao AH.

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 20² + 48² = 2704 = 52²  BC = 52 cm

Diện tích tam giác ABC là S =  .AB.AC = . AH. BC

1. AC = AH.BC AH =  =  =  cm

Bài 12:  Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 26 cm, AC = 10 cm. Tính chu vi tam giác ABC

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²  AB² = BC² – AC² = 26² – 10² = 576 = 24²  AB = 24 cm

Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 24 + 10 + 26 = 60 cm

Bài 13: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Trả lời:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có: x² + y² = 26² ⇔ x² + y² = 676

Theo bài ra ta có:

 =    =  =  =  = 4

Khi đó ta có:     

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Tính HC

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 15² + 20² = 625 = 25²  BC = 25 cm

Suy ra BH = BC – HC = 25 – HC (cm)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB² = AH² + BH²  AH² = AB² – BH²

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có: AC² = AH² + HC²  AH² = AC² – HC²

 AB² – BH² = AC² – HC²

 AB² – (25 – HC)² = AC² – HC²

 15² – (25 – HC)² = 20² – HC²

 225 – 625 + 50HC – HC² = 400 – HC²

 50HC – 800 = 0

 HC = 16 cm

Bài 15: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D, E lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BC, cắt AC theo thứ tự ở G và H. Tính tổng DG + EH.

Trả lời:

Kẻ HM // AM (M  BC).

Xét tứ giác EHMB có

MH // EB

EH // BM

 EHMB là hình bình hành.

Suy ra EH = BM; EB = HM (tính chất hình bình hành)

mà AD = BE

⇒ AD = MH

Có DG // BC   =  (hai góc ở vị trí đồng vị)(1)

     HM // AB   =  và  =  (hai góc ở vị trí đồng vị)(2)

Từ (1) và (2) suy ra  =

Xét ADG và HMC có

 =  (cmt)

AD = HM (cmt)

 =  (cmt)

 ADG = HMC (g – c – g)

 DG = MC

Ta có: DG + EH = MC + BM = BC = 6cm

Bài 16: Cho tam giác ABC đều, điểm M nằm trong tam giác đó. Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC ở E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D. Chứng minh rằng

1. a) AFMD, BDME, CEMF là hình thang cân
2. b) = =
3. c) Điểm M phải ở vị trí nào để DEF là tam giác đều? Trong trường hợp này, tính chi vi của DEF theo chiều cao AH của ABC

Trả lời:

1. a) Có ABC đều  =

mà FM // AD   =  (đồng vị)

  =

Xét tứ giác AFMD có

          AD // FM (gt)

           =

 AFMD là hình thang cân

Chứng minh tương tự ta được BDME, CEMF là các hình thang cân

1. b) AFMD là hình thang cân +  = 180^o

BDME là hình thang cân    +  = 180^o

CEMF là hình thang cân    +  = 180^o

Có ABC đều  =  =   = 60^o

  =  =  = 60^o

1. c) DEF là tam giác đều DE = DF = FE AM = BN = CM

 M phải cách đều ba điểm của tam giác ABC

Vậy M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC

Do ABC đều nên M đồng thời là trọng tâm và AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên AM =  AH = a  DE = DF = FE = a

Vậy chu vi tam giac DEF bằng DE + DF + EF = 2a

Bài 17: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. Chứng minh H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm BC)

Trả lời:

Ta có CH  AB

          BD  AB

 CH // BD (1)

Có BH  AC

      CD  AC

 BH // CD (2)

Từ (1) và (2) BHCD là hình bình hành

 BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà M là trung điểm BC

 M là trung điểm HD

 H, M, D thẳng hàng

Bài 18: Cho hình bình hành ABCD. Lấy N  AB, M  CD sao cho AN = CM. Chứng minh rằng AC, BD, MN đồng quy

Trả lời:

Xét tứ giác ANCM có

AN = CM

AN // CM (do AB // CD)

 ANCM là hình bình hành

Gọi AC  BD = {O} (1)

 O là trung điểm của AC và BD

Ta có ANCM là hình bình hành; O là trung điểm của đường chéo AC

 O là trung điểm của MN

 O  MN (2)

Từ (1) và (2)  AC, BD, MN đồng quy

Bài 19: Cho hình vuông ABCD có AC = 20cm . Tính diện tích hình vuông?

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a.

Suy ra: AB = BC = CD = D = a

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC ta có:

AC² = AB² + BC²  (20 )² = a² + a²  800 = 2a²  a² = 400  a = 20

Do đó, diện tích hình vuông đã cho là: S = a² = 400 cm²

Bài 20: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên hai cạnh BC, CD lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho  = 45⁰. Trên tia đối của của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM. Hãy tính chu vi tam giác MCN theo a.

Trả lời:

Áp dụng định nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD, ta được

 ⇒ Δ ABM = Δ ADK ( c - g - c )

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau và giả thiết, ta có:

 ⇒  =  +  =  +  = 90⁰ - 45⁰ = 45⁰

Đặt BM = DK = x thì KN = x + DN, MC = a - x, CN = a - DN

Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a và giả thiết ta có:

 ⇒ Δ AMN = Δ AKN ( c - g - c )

⇒ MN = KN (cạnh tương ứng bằng nhau)

Khi đó, chu vi của tam giác MCN là

MC + CN + MN = a - x + a - DN + x + DN = 2a.