Bài tập file word Toán 8 chân trời sáng tạo Ôn tập Chương 8: Hình đồng dạng (P2)

ÔN TẬP CHƯƠNG 8. HÌNH ĐỒNG DẠNG (PHẦN 2)

Bài 1: Cho hình bên là tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

1. a) Trong hình bên có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau. Hãy chỉ ra các cặp đồng dạng và theo các đỉnh tương ứng.
2. b) Cho biết AB = 5cm, AC = 12cm. Tinh độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH và CH.

Trả lời:

1. a) Trong hình bên có 3 cặp tam giác đồng dạng là BHA và BAC; CHA và CAB; HAB và HCA.
2. b) Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = CA² + AB² ⇒ BC² = 12² + 5² = 13² ⇔ BC = 13( cm )

Vì S_ABC = 1/2AB.AC = 1/2AH.BC ⇒ AH.BC = AB.AC

Hay 12.5 = AH.13 ⇒ AH = 60/13 ( cm )

Từ câu a ta có: Δ BHA ∼ Δ BAC ⇒ BH/BA = BA/BC hay BH/5 = 5/13 ⇔ BH = 25/13( cm )

Do đó: CH = BC - BH = 13 - 25/13 = 144/13( cm )

Bài 2: Chân đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 25 cm và 36 cm. Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

Trả lời:

Ta có: Δ AHB ∼ Δ CHA ⇒ AH/HC = HB/HA

Hay HA/36 = 25/HA ⇔ HA² = 30² ⇒ HA = 30( cm )

Ta có: S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2.30.61 = 915( cm² )

Áp dụng định lý Py – ta –go ta được:

Bài 3: Cho hình bên, ABCD là hình thang ( AB//CD ) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm;  góc DABˆ    = góc DBCˆ. Tính độ dài đoạn BD gần nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Xét Δ ABD và Δ BDC có:

⇒ AB/BD = AD/BC = BD/DC

hay 12,5/x = x/28,5 ⇒ x² = 1425/4 ⇔ x ≈ 18,87

Bài 4: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Trả lời:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có x² + y² = 26² ⇔ x² + y² = 676

Theo bài ra ta có

Khi đó ta có

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH?

Trả lời:

Ta có BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có

BC² = AB² + AC² ⇒ AB² = BC² - AC² = 25² - 20² = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có

HB² + HA² = AB² ⇒ AH² = AB² - HB² = 15² - 9² = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Bài 6: Cho hình vẽ dưới đây với OA = 5cm, OB = 16cm, OC = 8cm, OD = 10cm.

Chứng minh tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD.

Trả lời:

Xét hai tam giác OCB và ODA, ta có

Góc O chung

Vậy tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD (c.g.c)

Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. Khi đó tam giác AMN đồng dạng với tam giác nào ?

Trả lời:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra MN // B C

Do đó, tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC (định lí)

Bài 8: Tính các độ dài BD, BC biết AB = 2cm, AD = 3cm, CD = 8cm.

Trả lời:

Vì nên  tức là

Ta có nên  suy ra

Bài 9: Cho Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng k₁, Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₂. Hỏi Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' và Δ A'B'C' ∼ Δ ABC đồng dạng theo tỉ số nào?

Trả lời:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' là k

Ta có

Điều đó chứng tỏ Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là k =

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A'B'C' ∼ Δ ABC là k₃

Thì k₁ = , k₂ =  ⇒ k₃ =  = . = k₁.k₂

Điều đó chứng tỏ Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₃ = k₁k₂

Bài 10: Cho hai tam giác ABC và  đồng dạng với nhau theo tỉ số k, chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và  cũng bằng k.

Trả lời:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

Với  là chu vi tam giác ABC và  là chu vi tam giác  

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng CH² - BH² = AC²

 Trả lời:

Nối C với M ta được tam giác vuông CMH

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có

Do đó CH² - BH² = (CM² - MH²) - BH² = CM² - (MH² + BH²) = CM² - BM²

Mà MA = MB (gt)

Nên CH² - BH² = CH² - MA² = AC²

Vậy CH² - BH² = AC²

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.

1. a) Tính BC.
2. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh DEMB ~ D
3. c) Tính EB và EM.
4. d) Chứng minh BH vuông góc với EC.

Trả lời:

1. a) (Pitago)
2. b) (góc chung)(g.g)
3. c)
4. d) ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC,

Bài 13: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số , biết chu vi của tam giác ABC bằng 40 cm. Chu vi của tam giác MNP là?

Trả lời:

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số  nên

Và

Từ đó

Bài 14: Cho tam giác Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k =

1. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
2. b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm. Tính chu vi của hai tam giác đã cho.

Trả lời:

1. a) Ta có Δ A'B'C' ∼ Δ ABC
2. b) Theo giả thiết ta có P_ABC- P_A'B'C'= 40dm

Khi đó ta có 

hay 

Bài 15: Chứng minh rằng nếu A’B’C’ đồng dạng với ABC theo tỉ số k thì tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng cũng bằng k.

Trả lời:

1. a) có AD và lần lượt là trung tuyến xuất phát từ đỉnh A và A’ xuống cạnh BC và B’C’ của hai tam giác đó.

Ta có    và có  .

Vậy  (c.g.c)

Từ đó suy ra

Bài 16: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Trên cạnh OA lấy điểm D sao cho . Qua D vẽ các đường thẳng  song song với AB, AC lần lượt cắt OB, OC tại E và F

1. a) Chứng minh tam giác DEF đồng dạng tam giác ABC

b)Tính độ dài DE, AB biết hiệu độ dài hai cạnh đó là 12cm

1. c) Tính chu vi của DEF, biết rằng tổng chu vi của ABC và DEF là 120cm.

Trả lời:

1. a) Ta có suy ra

 (1)

Tương tự:   (2)

Do đó  ( theo định lí Ta let đảo)

  (3)

Từ (1) và (2); (3) suy ra

Tam giác DEF đồng dạng tam giác ABC

1. b) Ta có mà

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau có

1. c) Ta có tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng

 theo tỉ số đồng dạng

Do đó

Mà theo giả thiết

Bài 17: Tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 6cm. Tam giác MNP có MN = 9cm, NP = 4,5cm, PM = 7,5cm. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác NPM.

Trả lời:

Ta có 3 < 5 < 6;  4,5 < 7,5 < 9

Và  

mà  AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 6cm, MN = 9cm, NP = 4,5cm, PM = 7,5cm

Suy ra nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác NPM.

Bài 18: Tứ giác ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm, CD = 18cm, AD = 10cm, BD = 12cm. Chứng minh rằng

1. a) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC.
2. b) ABCD là hình thang.

Trả lời:

1. a) Ta có nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC (c.c.c)
2. b) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC nên . Hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vậy ABCD là hình thang.

Bài 19: Cho hai tam giác ABC và MNP đồng dạng với nhau. Biết  và chu vi tam giác ABC là 60cm . Tính chu vi tam giác MNP?

Trả lời:

Do tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP nên

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

Vậy

Bài 20: Tam giác ABC có góc A bằng 120 độ, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh a² = b² + c² + bc

Trả lời:

Kẻ  tại H

Xét tam giác BHA vuông ta có

Xét tam giác BHC vuông ta có

Hay